Abituraufgabe Analysis: Solaranlage

Aufgabenstellung

Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage) decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt.
Die Leistung der Solaranlage wird duch die Funktion $f$ mit der Gleichung $$\begin{equation} f(t)=t^4-24t^3+144t^2+400 \end{equation}$$ und der thermische Leistungsbedarf der Familie durch die Funktion $g$ mit der Gleichung $$\begin{equation} g(t)=-t^4+26t^3-167.5t^2-12.5t+2053 \end{equation}$$ Teilaufgabe a

• Vergleichen Sie die Graphen von f und g im Sachzusammenhang
• Berechnen Sie $\frac{f(0)}{g(0)}$ und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.
• Zeigen Sie, dass die Leistung der Solaranlage zu den Zeitpunkten $t_1=3$ und $t_2=9.5$ dem Leistungsbedarf der Familie entspricht.

Teilaufgabe b

• Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage
• Ermitteln Sie den Zeitpunkt im Intervall [0;12], zu dem der durch g beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb eines Kalenderjahres am stärksten abnimmt.

Durch das Integral $\int_a^bf(t)dt$ ist im Sachzusammenhang die aus der Solaranlage im Zeit intervall [a; b] abrufbare Energie und durch das Integral $\int_a^b g(t) dt$ t∫ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall [a; b] für 0 12 ab ≤<≤ in Kilowattstunden [kWh] gegeben.


Teilaufgabe c

• Geben Sie eine Gleichung einer Stammfunktion G von g an und berechnen Sie den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.
• Im Intervall [3; 9,5] wird der Leistungsbedarf der Familie zu jedem Zeitpunkt durch die Solaranlage gedeckt. Die den Bedarf übersteigende Leistung der Solaranlage soll in diesem Zeitraum zusätzlich zum Heizen eines Gartenpools genutzt werden. Ermitteln Sie die Energie, die zum Heizen des Gartenpools im Intervall [ ] 3;9,5 zur Verfügung steht.
• Skizzieren Sie in der Abbildung die Fläche, welche durch den Zähler des folgenden Bruches bestimmt wird, und interpretieren Sie das Ergebnis der folgenden Berechnung im Sachzusammenhang. $$\begin{equation} \frac{ \int_0^{12}f(t)\; dt - \int_3^{9.5}\left(f(t)-g(t)\right)\; dt }{ \int_0^{12}g(t)\; dt } \end{equation}$$

Lösung und Erklärung

Diese Analysisaufgabe ist im Sachzusammenhang gestellt. Der erste Schritt ist damit, sich die Situation vor Augen zu führen. Hier haben wir es mit Verbrauch und Gewinn von Energie bei einer Heizungsanlage zu tun. Dabei beschreibt die Funktion $f(t)$ die Leistung der Solaranlage und $g(t)$ beschreibt die Leistung der Heizung. Die Variable $t$ läuft in unserem Modell von $0$ bis $12$ also durch die Monate eines Jahres.\\ Physikalische Randnotiz. Integriert man die Leistung auf erhält man eine Energie. Im Einfachsten Fall ist Leistung als Energie pro Zeit zu verstehen.

Teilaufgabe a Im Winter benötigt die Heizung viel Leistung, wobei die Solaranlage wenig Leistung erbringt. Im Sommer wird wenig geheizt, die Solaranlage produziert mehr Leistung zur Verfügung als benötigt wird. Im Frühjahr und Herbst sind die verbrauchte Leistung und die Leistund der Solaranlage näher beieinander.

$$\begin{align*} \frac{f(0)}{g(0)} = 0.194 = 19.4 \% \end{align*}$$ Dieser Quotient gibt das Verhältnis von Leistung der Solaranlage zur Leistung der Heizung an. Im Januar werden 19 Prozent der benötigten Leistung durch die Solaranlage gedeckt.

Zuletzt soll man noch zeigen, dass sich die Leistung und der Leistungsbedarf bei $t_1 = 3$ und $t_2 = 9.5$ gleich sind. einfache Lösung. Man setzt ein und zeigt, dass die Zahlenwerte der Funktionen gleich sind: $$\begin{align*} f(3) = 1129 = g(3)\\ f(9.5) = 964.063 = g(9.5) \end{align*}$$ die \textit{schwere Lösung} wäre die Schnittpunkte der Funktionen manuell auszurechnen, indem man den Ansatz $$\begin{align*} f(t) = g(t) \end{align*}$$ löst, dann kommt man auch zu den oben genannten Schnittpunkten.

Teilaufgabe b

Bestimmen wir zunächst das lokale Extremum von $f(t)$. Dazu berechnen wir zunächst die Ableitung $$\begin{align*} \frac{df}{dt} = 4t^3 -72t^2+288t \end{align*}$$ Für das lokale Extremum soll gelten: $$\begin{align*} \frac{df}{dt} = 0 \end{align*}$$ Dann ist also die Gleichung zu lösen $$\begin{align*} 4t^3 -72t^2+288t = 0 \end{align*}$$ Dies ist ein Polynom dritten Grades, es wird also im Allgemeinen drei Nullstellen habe. Das ist per Hand nicht ganz so einfach. Man verwendet an dieser Stelle den Taschenrechner, bei TI kann man Nullstellen von Polynomen mit $\text{polyroots}(\sum a_nx^n, x)$ berechnen. Jedenfalls gilt: $$\begin{align*} 4t^3 -72t^2+288t = 0 \Leftrightarrow t=0 \vee t=6 \vee t=12 \end{align*}$$ Nun berechnen wir die Funktionswerte um das globale Maximum zu bestimmen. $$\begin{align*} f(0)=400\\ f(6)=1696\\ f(12)=400 \end{align*}$$ Normalerweise müssten wir jetzt noch die Randwertbetrachtung durchführen, aber dort liegen ja schon lokale Extrema, deshalb müssen wir hier die Randwerte nicht genauer betrachte. Folglich können wir feststellen:

Die Leistung der Solaranlage ist bei $t=6$ am größten. Zu diesem Zeitpunkt liefert sie eine Leistung von $$\begin{align*} f_{\text{max}}=1696 \frac{\text{kWh}}{\text{Monat}} \end{align*}$$ Teilaufgabe b2

Wann nimmt der Leistungsbedarf am stärksten ab? Gefragt ist hier nach einem Wendepunkt, also nach einem Punkt, an dem die Steigung ein Extremum hat, hier ein Minimum mit negativem Funktionswert. $g'$ minimal und negativ Auch hier müssen wir uns Gedanken über die Randwerte machen, denn hier könnte die erste Ableitung größer sein, als an den gefunden Extremstellen der Ableitung.
Zunächst berechnen wir die Ableitungen der Funktion $g(t)$
$$\begin{align*} &g(t)=-t^4+26t^3-167.5t^2-12.5t+2053\\ &\frac{dg}{dt} = -4t^3+78t^2-335t-12.5\\ &\frac{d^2g}{dt^2} = -12t^2+156t-335 \end{align*}$$ Ansatz Wendepunkt: $$\begin{align*} \frac{d^2g}{dt^2} = 0 \Leftrightarrow -12t^2+156t-335 = 0 \end{align*}$$ Das können wir in eine PQ-Form überführen (faulere Menschen können hier natürlich auch wieder polyroots auspacken) $$\begin{align*} t^2-13t+\frac{335}{12} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad t_\pm = \frac{13}{2} \pm \sqrt{\frac{13^2}{4}-\frac{335}{12}} \end{align*}$$ $$\begin{align*} t_+ = 10.2859 \qquad t_- = 2.71406 \end{align*}$$ Jetzt müssen wir noch die Steigung an diesen Stellen berechnen, um zu entscheiden, wo der Abfall maximal ist: $$\begin{align*} &\frac{dg}{dt}(10.2859) = 441.121 > 0\\ &\frac{dg}{dt}(2.71406) = -427.121 <0 \end{align*}$$ Bei $t=10.2859$ nimmt der Leistungsbedarf stark zu, weil die Ableitung einen hohen postiven Wert hat. Bei $t=2.714$ fällt der Leistungsbedarf stark ab, weil die Ableitung einen hohen negativen Wert annimmt. Für uns ist also nur der zweite Wert ein Kandidat. Nun müssen wir noch die Randwerte betrachten. $$\begin{align*} &\frac{dg}{dt}(0)=-12.5 < 0\\ &\frac{dg}{dt}(12)=287.5 > 0\\ \end{align*}$$ Einziger Kandidat ist hier $t=0$ aber der Abfall ist nicht so groß wie vorhin bei $t=2.714$. Wir stellen fest: bei $t=2.7$ nimmt der Leistungsbedarf der Famile am stärksten ab.

Teilaufgabe c

Wir suchen eine Stammfunktion für $g(t)$. Rechnung funktioniert einfach mit Potenzregel: $$\begin{align*} &\int \left( -t^4+26t^3-167.5t^2-12.5t+2053 \right) \; dt\\ & = - \frac{1}{5}t^5 + \frac{13}{2}t^4 - \frac{335}{6}t^3 - \frac{25}{4}t^2+2053t + C \end{align*}$$ Die Integrationskonstante wählen wir hier $C=0$ weil die Randbedingung $G(0)=0$ aufgrund des Sachzusammenhangs erfüllt sein muss. Um den Energiebedarf der Famile zu berechnen setzen wir jetzt die Integrationsgrenzen $[0:12]$ In die Stammfunktion ein. Als Symbol für die Energie nutzen wir wie in den Naturwissenschaften $W$ für Work. Energie und Arbeit sind physikalisch äquivalent. $$\begin{align*} W_\text{Bedarf} = G(12) - G(0) =12273.6 \; \text{kWh} \end{align*}$$ Hinweis zu den Einheiten: Die Funktion $g$ war mit $\frac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$ einheitenbehaftet. Führen wir eine Integration über die Zeit durch hat das Ergebnis nur noch $\text{kWh}$ als Einheit, die Zeitabhängigkeit der Größe verschwindet durch die Integration.

\textbf{Teilaufgabe c2}Wir haben ja im Vorfeld gezeigt, dass gilt: $$\begin{align*} f(t)\ge g(t) \quad \forall \quad 3 \le t \le 9.5 \end{align*}$$ Um den Energieüberschuss zu berechnen integrieren wir über die Differenz zwischen Erzeuger Energie (Solaranlage) und verbrauchter Energie (Haushalt). $$\begin{align*} \int_3^{9.5} \left(f(t)-g(t)\right)\; dt \end{align*}$$ Nebenrechnung: $$\begin{align*} f(t)-g(t) &= t^4-24t^3+144t^2+400 - \left( -t^4+26t^3-167.5t^2-12.5t+2053 \right) \\ &= 2t^4-50t^3+311.5t^2+12.5t-1653 \end{align*}$$ Wir integrieren von $3$ bis $9.5$ $$\begin{align*} &\int_3^{9.5} \left( 2t^4-50t^3+311.5t^2+12.5t-1653 \right) \; dt\\ =&\left. \frac{2}{5}t^5-\frac{25}{2}t^4+\frac{623}{6}t^3+\frac{25}{4}-1653t \right|_3^{9.5}\\ =& 6037.173 \end{align*}$$ Für den Gartenpool stehen $6037 \text{kWh}$ zur Verfügung.

Teilaufgabe c3

Hier gehen wir weg vom Sachzusammenhang. Welche Fläche berechnet der Term $$\begin{align*} \frac{ \int_0^{12}f(t)\; dt - \int_3^{9.5}\left(f(t)-g(t)\right)\; dt }{ \int_0^{12}g(t)\; dt } \end{align*}$$ Überlegen wir uns, was die einzelnen Terme aussagen. $\int_0^{12}f(t)\; dt$ ist die ganze Fläche unter $f$. Davon abgezogen wird der Schnitt zwischen $f$ und $g$ also $\int_3^{9.5}\left(f(t)-g(t)\right)\; dt$. Der Zähler gibt also die Energie an, welche von der Solaranlage produziert wird und vom Haushalt verbraucht wird. Teilt man das nun durch die Gesamte vom Haushalt verbrauchte Energie hat man den Anteil der Solaranlage an der gesamten vom Haushalt verbrauchten Energie.