Begriffe der Vektorechnung

Im folgenden seien $\vec{a}$ und $\vec{b}$ Vektoren des dreidimensionalen Raumes. Es gilt also
$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3$ sowie $k$ ein Skalar, also $k \in \mathbb{R}$.

Kommutativität und Assoziativität
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$

Skalare Multiplikation
Möchte man $k \vec{a}$ berechnen, so muss $k$ zu jeder Komponente des Vektors $\vec{a}$
multipliziert werden.

$k \vec{a} = \begin{pmatrix} k a_x\\ k a_y \\ k a_z \end{pmatrix}$

Skalarprodukt
Multipliziert man zwei Vektoren skalar miteinander, so sind die beiden Definitionen für das Skalarprodukt äquivalent:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |a| |b| \cos(\varphi)$
$\vec{a} \cdot \vec{b} =  \sum_{i=1}^{3} a_i b_i$

Orthogonalität
Stehen zwei Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander, so gilt
$\vec{a} \bot \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Kreuzprodukt 


$\vec{a} \times \vec{b}= \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}$

Parallelität
Stehen zwei Vektoren parallel zueinander, so ist das Kreuzprodukt Null. Sind zwei Vektoren parallel, so sind sie linear abhängig, d.h. es existiert ein skalarer Faktor $\psi$, sodass gilt $$\begin{equation} \vec{v_1} + \psi \vec{v_2} = 0 \end{equation}$$