Begriffe der Vektorechnung

Im folgenden seien $\vec{a}$ und $\vec{b}$ Vektoren des dreidimensionalen Raumes. Es gilt also
$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3$ sowie $k$ ein Skalar, also $k \in \mathbb{R}$.

Kommutativität und Assoziativität
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$

Skalare Multiplikation
Möchte man $k \vec{a}$ berechnen, so muss $k$ zu jeder Komponente des Vektors $\vec{a}$
multipliziert werden.

$ k \vec{a} = \begin{pmatrix} k a_x\\ k a_y \\ k a_z \end{pmatrix}$

Skalarprodukt
Multipliziert man zwei Vektoren skalar miteinander, so sind die beiden Definitionen für das Skalarprodukt äquivalent:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |a| |b| \cos(\varphi)$
$\vec{a} \cdot \vec{b} =  \sum_{i=1}^{3} a_i b_i $

Orthogonalität
Stehen zwei Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander, so gilt
$\vec{a} \bot \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Kreuzprodukt 


$\vec{a} \times \vec{b}= \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}$

Parallelität
Stehen zwei Vektoren parallel zueinander, so ist das Kreuzprodukt Null. Sind zwei Vektoren parallel, so sind sie linear abhängig, d.h. es existiert ein skalarer Faktor $\psi$, sodass gilt \begin{equation} \vec{v_1} + \psi \vec{v_2} = 0 \end{equation}

Die verschiedenen Schreibweisen von Funktionen und Ableitungen

Hi Leute,

ich habe schon ab und an die Frage nach den Schreibweisen von Funktionen und Ableitungen bekommen. (Wenn ihr auch eine Frage habt, mailt mit!!)

Leider ist eine Einheitliche Bezeichnung nicht so üblich, wie man sich das wünschen würde. Die meisten Bücher führen Funktionen als \begin{equation} f(x)=... \end{equation} ein. Genauso kommt aber die Schreibweise \begin{equation} y=f(x) \end{equation} vor. Lasst euch davon nicht verrückt machen. In jedem Fall steht Links der Name der Funktion und rechts davon steht dann ein Term in Abhängigkeit von x. Was ist nun mit der Ableitung. Auch hier beginne ich mit der häufigsten Schreibweise. Diese ist \begin{equation} f'(x) \end{equation} Für die erste Ableitung und die Anzahl der Striche werden erhöht für die höheren Ableitungen. Man würde als zwei Striche nehmen, wenn man die zweite Ableitung meint. In vielen fortgeschrittenen Büchern kommt aber auch die Schreibweise \begin{equation} \frac{df}{dx} \end{equation} für die erste Ableitung und für die zweite Ableitung dann \begin{equation} \frac{d^2f}{dx^2} \end{equation} usw vor. Diese Schweibweise wird später in der Uni zum Standard, weil es eigentlich verschiedene Ableitungen gibt (braucht euch noch nicht zu interessieren). Jedenfalls ist diese Schreibweise kompatibel mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung deswegen benutze ich sie auch hier konsequent für die Ableitungen.

Ich hoffe, ich kann damit ein bisschen Verwirrung nehmen. Ansonsten schreibt gerne eine Mail und ich versuche euere Fragen zu beantworten.

Abituraufgabe Analysis: Solaranlage

Aufgabenstellung

Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage) decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt.
Die Leistung der Solaranlage wird duch die Funktion $f$ mit der Gleichung \begin{equation} f(t)=t^4-24t^3+144t^2+400 \end{equation} und der thermische Leistungsbedarf der Familie durch die Funktion $g$ mit der Gleichung \begin{equation} g(t)=-t^4+26t^3-167.5t^2-12.5t+2053 \end{equation} Teilaufgabe a

• Vergleichen Sie die Graphen von f und g im Sachzusammenhang
• Berechnen Sie $\frac{f(0)}{g(0)}$ und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.
• Zeigen Sie, dass die Leistung der Solaranlage zu den Zeitpunkten $t_1=3$ und $t_2=9.5$ dem Leistungsbedarf der Familie entspricht.

Teilaufgabe b

• Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage
• Ermitteln Sie den Zeitpunkt im Intervall [0;12], zu dem der durch g beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb eines Kalenderjahres am stärksten abnimmt.

Durch das Integral $\int_a^bf(t)dt $ ist im Sachzusammenhang die aus der Solaranlage im Zeit intervall [a; b] abrufbare Energie und durch das Integral $\int_a^b g(t) dt$ t∫ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall [a; b] für 0 12 ab ≤<≤ in Kilowattstunden [kWh] gegeben.


Teilaufgabe c

• Geben Sie eine Gleichung einer Stammfunktion G von g an und berechnen Sie den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.
• Im Intervall [3; 9,5] wird der Leistungsbedarf der Familie zu jedem Zeitpunkt durch die Solaranlage gedeckt. Die den Bedarf übersteigende Leistung der Solaranlage soll in diesem Zeitraum zusätzlich zum Heizen eines Gartenpools genutzt werden. Ermitteln Sie die Energie, die zum Heizen des Gartenpools im Intervall [ ] 3;9,5 zur Verfügung steht.
• Skizzieren Sie in der Abbildung die Fläche, welche durch den Zähler des folgenden Bruches bestimmt wird, und interpretieren Sie das Ergebnis der folgenden Berechnung im Sachzusammenhang. \begin{equation} \frac{ \int_0^{12}f(t)\; dt - \int_3^{9.5}\left(f(t)-g(t)\right)\; dt }{ \int_0^{12}g(t)\; dt } \end{equation}

Lösung und Erklärung

Diese Analysisaufgabe ist im Sachzusammenhang gestellt. Der erste Schritt ist damit, sich die Situation vor Augen zu führen. Hier haben wir es mit Verbrauch und Gewinn von Energie bei einer Heizungsanlage zu tun. Dabei beschreibt die Funktion $f(t)$ die Leistung der Solaranlage und $g(t)$ beschreibt die Leistung der Heizung. Die Variable $t$ läuft in unserem Modell von $0$ bis $12$ also durch die Monate eines Jahres.\\ Physikalische Randnotiz. Integriert man die Leistung auf erhält man eine Energie. Im Einfachsten Fall ist Leistung als Energie pro Zeit zu verstehen.

Teilaufgabe a Im Winter benötigt die Heizung viel Leistung, wobei die Solaranlage wenig Leistung erbringt. Im Sommer wird wenig geheizt, die Solaranlage produziert mehr Leistung zur Verfügung als benötigt wird. Im Frühjahr und Herbst sind die verbrauchte Leistung und die Leistund der Solaranlage näher beieinander.

\begin{align*} \frac{f(0)}{g(0)} = 0.194 = 19.4 \% \end{align*} Dieser Quotient gibt das Verhältnis von Leistung der Solaranlage zur Leistung der Heizung an. Im Januar werden 19 Prozent der benötigten Leistung durch die Solaranlage gedeckt.

Zuletzt soll man noch zeigen, dass sich die Leistung und der Leistungsbedarf bei $t_1 = 3$ und $t_2 = 9.5$ gleich sind. einfache Lösung. Man setzt ein und zeigt, dass die Zahlenwerte der Funktionen gleich sind: \begin{align*} f(3) = 1129 = g(3)\\ f(9.5) = 964.063 = g(9.5) \end{align*} die \textit{schwere Lösung} wäre die Schnittpunkte der Funktionen manuell auszurechnen, indem man den Ansatz \begin{align*} f(t) = g(t) \end{align*} löst, dann kommt man auch zu den oben genannten Schnittpunkten.

Teilaufgabe b

Bestimmen wir zunächst das lokale Extremum von $f(t)$. Dazu berechnen wir zunächst die Ableitung \begin{align*} \frac{df}{dt} = 4t^3 -72t^2+288t \end{align*} Für das lokale Extremum soll gelten: \begin{align*} \frac{df}{dt} = 0 \end{align*} Dann ist also die Gleichung zu lösen \begin{align*} 4t^3 -72t^2+288t = 0 \end{align*} Dies ist ein Polynom dritten Grades, es wird also im Allgemeinen drei Nullstellen habe. Das ist per Hand nicht ganz so einfach. Man verwendet an dieser Stelle den Taschenrechner, bei TI kann man Nullstellen von Polynomen mit $\text{polyroots}(\sum a_nx^n, x)$ berechnen. Jedenfalls gilt: \begin{align*} 4t^3 -72t^2+288t = 0 \Leftrightarrow t=0 \vee t=6 \vee t=12 \end{align*} Nun berechnen wir die Funktionswerte um das globale Maximum zu bestimmen. \begin{align*} f(0)=400\\ f(6)=1696\\ f(12)=400 \end{align*} Normalerweise müssten wir jetzt noch die Randwertbetrachtung durchführen, aber dort liegen ja schon lokale Extrema, deshalb müssen wir hier die Randwerte nicht genauer betrachte. Folglich können wir feststellen:

Die Leistung der Solaranlage ist bei $t=6$ am größten. Zu diesem Zeitpunkt liefert sie eine Leistung von \begin{align*} f_{\text{max}}=1696 \frac{\text{kWh}}{\text{Monat}} \end{align*} Teilaufgabe b2

Wann nimmt der Leistungsbedarf am stärksten ab? Gefragt ist hier nach einem Wendepunkt, also nach einem Punkt, an dem die Steigung ein Extremum hat, hier ein Minimum mit negativem Funktionswert. $g'$ minimal und negativ Auch hier müssen wir uns Gedanken über die Randwerte machen, denn hier könnte die erste Ableitung größer sein, als an den gefunden Extremstellen der Ableitung.
Zunächst berechnen wir die Ableitungen der Funktion $g(t)$
\begin{align*} &g(t)=-t^4+26t^3-167.5t^2-12.5t+2053\\ &\frac{dg}{dt} = -4t^3+78t^2-335t-12.5\\ &\frac{d^2g}{dt^2} = -12t^2+156t-335 \end{align*} Ansatz Wendepunkt: \begin{align*} \frac{d^2g}{dt^2} = 0 \Leftrightarrow -12t^2+156t-335 = 0 \end{align*} Das können wir in eine PQ-Form überführen (faulere Menschen können hier natürlich auch wieder polyroots auspacken) \begin{align*} t^2-13t+\frac{335}{12} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad t_\pm = \frac{13}{2} \pm \sqrt{\frac{13^2}{4}-\frac{335}{12}} \end{align*} \begin{align*} t_+ = 10.2859 \qquad t_- = 2.71406 \end{align*} Jetzt müssen wir noch die Steigung an diesen Stellen berechnen, um zu entscheiden, wo der Abfall maximal ist: \begin{align*} &\frac{dg}{dt}(10.2859) = 441.121 > 0\\ &\frac{dg}{dt}(2.71406) = -427.121 <0 \end{align*} Bei $t=10.2859$ nimmt der Leistungsbedarf stark zu, weil die Ableitung einen hohen postiven Wert hat. Bei $t=2.714$ fällt der Leistungsbedarf stark ab, weil die Ableitung einen hohen negativen Wert annimmt. Für uns ist also nur der zweite Wert ein Kandidat. Nun müssen wir noch die Randwerte betrachten. \begin{align*} &\frac{dg}{dt}(0)=-12.5 < 0\\ &\frac{dg}{dt}(12)=287.5 > 0\\ \end{align*} Einziger Kandidat ist hier $t=0$ aber der Abfall ist nicht so groß wie vorhin bei $t=2.714$. Wir stellen fest: bei $t=2.7$ nimmt der Leistungsbedarf der Famile am stärksten ab.

Teilaufgabe c

Wir suchen eine Stammfunktion für $g(t)$. Rechnung funktioniert einfach mit Potenzregel: \begin{align*} &\int \left( -t^4+26t^3-167.5t^2-12.5t+2053 \right) \; dt\\ & = - \frac{1}{5}t^5 + \frac{13}{2}t^4 - \frac{335}{6}t^3 - \frac{25}{4}t^2+2053t + C \end{align*} Die Integrationskonstante wählen wir hier $C=0$ weil die Randbedingung $G(0)=0$ aufgrund des Sachzusammenhangs erfüllt sein muss. Um den Energiebedarf der Famile zu berechnen setzen wir jetzt die Integrationsgrenzen $[0:12]$ In die Stammfunktion ein. Als Symbol für die Energie nutzen wir wie in den Naturwissenschaften $W$ für Work. Energie und Arbeit sind physikalisch äquivalent. \begin{align*} W_\text{Bedarf} = G(12) - G(0) =12273.6 \; \text{kWh} \end{align*} Hinweis zu den Einheiten: Die Funktion $g$ war mit $\frac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$ einheitenbehaftet. Führen wir eine Integration über die Zeit durch hat das Ergebnis nur noch $\text{kWh}$ als Einheit, die Zeitabhängigkeit der Größe verschwindet durch die Integration.

\textbf{Teilaufgabe c2}Wir haben ja im Vorfeld gezeigt, dass gilt: \begin{align*} f(t)\ge g(t) \quad \forall \quad 3 \le t \le 9.5 \end{align*} Um den Energieüberschuss zu berechnen integrieren wir über die Differenz zwischen Erzeuger Energie (Solaranlage) und verbrauchter Energie (Haushalt). \begin{align*} \int_3^{9.5} \left(f(t)-g(t)\right)\; dt \end{align*} Nebenrechnung: \begin{align*} f(t)-g(t) &= t^4-24t^3+144t^2+400 - \left( -t^4+26t^3-167.5t^2-12.5t+2053 \right) \\ &= 2t^4-50t^3+311.5t^2+12.5t-1653 \end{align*} Wir integrieren von $3$ bis $9.5$ \begin{align*} &\int_3^{9.5} \left( 2t^4-50t^3+311.5t^2+12.5t-1653 \right) \; dt\\ =&\left. \frac{2}{5}t^5-\frac{25}{2}t^4+\frac{623}{6}t^3+\frac{25}{4}-1653t \right|_3^{9.5}\\ =& 6037.173 \end{align*} Für den Gartenpool stehen $6037 \text{kWh}$ zur Verfügung.

Teilaufgabe c3

Hier gehen wir weg vom Sachzusammenhang. Welche Fläche berechnet der Term \begin{align*} \frac{ \int_0^{12}f(t)\; dt - \int_3^{9.5}\left(f(t)-g(t)\right)\; dt }{ \int_0^{12}g(t)\; dt } \end{align*} Überlegen wir uns, was die einzelnen Terme aussagen. $\int_0^{12}f(t)\; dt$ ist die ganze Fläche unter $f$. Davon abgezogen wird der Schnitt zwischen $f$ und $g$ also $\int_3^{9.5}\left(f(t)-g(t)\right)\; dt$. Der Zähler gibt also die Energie an, welche von der Solaranlage produziert wird und vom Haushalt verbraucht wird. Teilt man das nun durch die Gesamte vom Haushalt verbrauchte Energie hat man den Anteil der Solaranlage an der gesamten vom Haushalt verbrauchten Energie.

Abituraufgabe mit Lösung Matrizen Grundkurs Seevögel

Aufgabe

Die Entwicklung der Population einer bestimmten Seevogelart in einem festgelegten Beobachtungsgebiet wird durch folgende Modellannahmen beschrieben: Die Überlebensrate der Vögel in den ersten beiden Lebensjahren wird jeweils mit 0,6 angenommen, in den späteren Lebensjahren mit 0,8. Die erste Brut findet im 3. Lebensjahr statt, der Bruterfolg wird mit 0,5 Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr angenommen. Die Vögel werden in drei Altersgruppen eingeteilt, deren Anzahlen

• $x_1$ : Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)
• $x_2$ : Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)
• $x_3$ : Anzahl der Altvögel, die älter als 2 Jahre sind (Altersgruppe 3)

durch jährliche Zählungen ermittelt und jeweils zu einer Verteilung $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}$ zusammengefasst werden. Die Matrix $L= \left( \begin{matrix} 0& 0& 0.5\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix} \right)$ beschreibt dieses Modell.

• Die aktuelle Zählung ergibt $x_1= 2000$, $x_2=4000$ und $x_3 = 15000$.
• Berechnen Sie, ausgehend von diesen Zahlen, die Verteilung der Vögel nach einem Jahr und nach 2 Jahren.
• Bestimmen Sie die Verteilung der Vögel, die sich aus dem Modell für das Vorjahr ergäbe.
• Fünf Elemente der Matrix L haben den Wert Null. Erklären Sie für jedes dieser Elemente aus dem Sachzusammenhang heraus, warum es den Wert Null hat.
• Untersuchen Sie, ob es eine von $\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$ verschiedene stationäre Verteilung gibt, d.h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.
• Wenn sich die Population sehr lange nach dem durch die Matrix $L$ beschriebenen Modell entwickelt, wird sie sich pro Jahr näherungsweise um einen festen Prozentsatz p verkleinern. Nach 20 Jahren wird sie noch aus insgesamt $17870$ Vögeln, nach weiteren 10 Jahren aus $15422$ Vögeln bestehen. Berechnen Sie anhand dieser Angaben einen Näherungswert für den Prozentsatz p.
• Langfristig gilt $p \approx 1,462\%$. Ermitteln Sie näherungsweise, in wie viel Jahren sich unter dieser Voraussetzung die Population jeweils halbiert. \\ Durch Schutzmaßnahmen wird – bei sonst gleichbleibenden Modellannahmen – der Bruterfolg auf die Quote von $\frac{5}{9}$ Jungvögel pro Elternvogel und Jahr erhöht.
• Zeigen Sie, dass die Verteilung $n \cdot \begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 9 \end{pmatrix}$ für jede positive ganze Zahl $n$ eine stationäre Verteilung ist.
• Berechnen Sie für eine konkrete stationäre Verteilung aus (4) die prozentualen Anteile jeder der 3 Altersgruppen an der Gesamtzahl der Vögel und zeigen Sie, dass sich für jede stationäre Verteilung aus (4) unabhängig von n dieselben Anteile ergeben.
• Die Entwicklung einer Population einer anderen Vogelart ist durch den nebenstehenden Übergangsgraphen gegeben, wobei sich die Übergangsquoten wieder auf ein Jahr beziehen.

• Geben Sie dazu eine Übergangsmatrix M an.
• Beschreiben Sie anhand des Übergangsgraphen, nach welchen Modellannahmen die Entwicklung der Population dieser anderen Vogelart im Vergleich zur bisher betrachteten Seevogelart abläuft.

Lösung der Aufgabe

Teilaufgabe a
\begin{align*} \vec{x_1} = L \vec{x_0} = \left( \begin{matrix} 0& 0& 0.5\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 2000\\ 4000\\ 15000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7500\\ 1200\\ 14400 \end{pmatrix} \end{align*} \begin{align*} \vec{x_2} = L^2\vec{x_0} = \begin{pmatrix} 7500\\ 4500\\ 12240 \end{pmatrix} \end{align*} Zu 1b
Ansatz: \begin{align*} L\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2000\\ 4000\\ 15000 \end{pmatrix} \end{align*} Wir können jetzt die Matrixmultiplikation auf der linken Seite ausführen. Dies führt dann auf das folgende Gleichungssystem: \begin{align*} &0.5 x_3 = 2000\\ &0.6 x_1 = 4000\\ &0.6 x_2 + 0.8 x_3 = 15000 \end{align*} die ersten beiden Gleichungen können wir direkt lösen, da ja nur eine unbekannte Größe pro Gleichung vorkommt. In Gleichung drei müssen wir dann $x_3$ aus Gleichung 1 einsetzten und können dann nach $x_2$ lösen. \begin{align*} &x_3 = 4000\\ &x_1 = \frac{20 000}{3} = 6666 \frac{2}{3} \end{align*} Nach einsetzen folgt \begin{align*} &\frac{6}{10}x_2 + \frac{8}{10}4000 = 15000\\ \Leftrightarrow & x_2 = \frac{59000}{3} = 19660 \frac{2}{3} \end{align*} Damit ist die Verteilung im Vorjahr bekannt als \begin{align*} \vec{x}_\text{Vorjahr} = \begin{pmatrix} 6666\frac{2}{3}\\ 19666\frac{2}{3}\\ 4000 \end{pmatrix} \end{align*} Wir wollen auf einzelne Einträge der Matrix genauer eingehen. $L_11$ ist Null, weil Jungvögel nach einem Jahr in die nächste Altersgruppe wechseln, aber selbst keinen Nachwuchs bekommen. $L_23$ ist Null, weil Vögel der Altersgruppe 3 nicht in Altersgruppe 2 zurückwechseln können. Sie werden nicht jünger. Bei solchen Aufgaben muss man sich das Modell klarmachen, dann sind das eigentlich geschenkte Punkte.

Teilaufgabe b

Der Fixvektor $\vec{s}$ soll sich über ein Jahr nicht ändern. Dies führt zu dem Ansatz: \begin{align*} L \vec{s} = \vec{s} \end{align*} \begin{align*} \left( \begin{matrix} 0& 0& 0.5\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix} \right) \begin{pmatrix} s_1\\ s_2\\ s_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_1\\ s_2\\ s_3 \end{pmatrix} \end{align*} Links führt man die Matrixmultiplikation aus \begin{align*} \begin{pmatrix} 0.5s_3\\ 0.6s_1\\ 0.6s_2 + 0.8s_3 \end{pmatrix} \end{align*} Und kommt so auf das Gleichungssystem \begin{align*} &-s_1 + 0.5 s_3 = 0\\ &0.6s_1 - s_2 = 0\\ &0.6s_2 -0.2s_3 = 0 \end{align*} Wir schreiben die erweiterte Koeffizientenmatrix auf \begin{align*} \left( \begin{matrix} -1& 0& 0.5& 0\\ 0.6& -1& 0& 0\\ 0& 0.6& -0.2& 0 \end{matrix} \right) \end{align*} Und nutzen den Gauß-Algorithmus um die Lösung des Gleichungssystems zu finden \begin{align*} \left( \begin{matrix} 1& 0& -0.5& 0\\ -0.6& 1& 0& 0\\ 0& 0.6& -0.2& 0 \end{matrix} \right) \end{align*} \begin{align*} \left( \begin{matrix} 1& 0& -0.5& 0\\ 0& 1& -0.3& 0\\ 0& 0.6& -0.2& 0 \end{matrix} \right) \end{align*} \begin{align*} \left( \begin{matrix} 1& 0& -0.5& 0\\ 0& 1& -0.3& 0\\ 0& 0& -0.2& 0 \end{matrix} \right) \end{align*} \begin{align*} \left( \begin{matrix} 1& 0& -0.5& 0\\ 0& 1& -0.3& 0\\ 0& 0& 1& 0 \end{matrix} \right) \end{align*} Wir haben also eine einfaches äquivalentes Gleichungssystem gefunden: \begin{align*} &s_1 -0.5s_3 = 0\\ &s_2 - 0.3s_3 = 0\\ &s_3 = 0 \end{align*} Lösung \begin{align*} \vec{s}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{align*} Es gibt also nur einen Fixvektor, insbesondere gibt es keinen von Null verschiedenen Fixvektor.

Teilaufgabe b2
Wir gehen nun davon aus, das sich die Population im gesamten jedes Jahr um einen Prozentsatz abnimmt. Wir kennen noch aus der Zinsrechnung die Zinseszinsformel, wir ändern ein Vorzeichen und erhalten den Ansaz: \begin{align*} K_n = K_0 \left(1-\frac{p}{100}\right)^n \end{align*} Wir lösen nach $\frac{p}{100}$ auf, denn alle anderen Größen kennen wir ja. \begin{align*} &\frac{K_n}{K_0} = \left( 1-\frac{p}{100}\right)^n\\ \Leftrightarrow &\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} = 1-\frac{p}{100}\\ \Leftrightarrow &1-\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} = \frac{p}{100} \end{align*} Hier ergibt sich \begin{align*} \frac{p}{100} = 1- \sqrt[10]{\frac{15422}{17870}} = 0.01462 \end{align*} Folgt $p\approx 1.462$


Teilaufgabe b3 Wir wissen $p=1.462$ Wann halbiert sich die Population? Wegen dem vorhin gewählten Ansatz muss ja der Faktor, der die Abnahme von der Ausgangspopulation beschreibt, gleich $\frac{1}{2}$ sein. Führt zum Ansatz: \begin{align*} \left(1-\frac{p}{100}\right)^n = \frac{1}{2} \end{align*} Wir wenden den Logarithmustrick zum Auflösen nach Exponenten an \begin{align*} n \ln \left( 1-\frac{p}{100}\right) = \ln \frac{1}{2} \end{align*} Auflösen und Logarithmusgesetze anwenden \begin{align*} n=\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln\left(1-\frac{p}{100}\right)} =\frac{\ln 1 - \ln 2}{\ln\left(1-\frac{p}{100}\right)} =\frac{0 - \ln 2}{\ln\left(1-\frac{p}{100}\right)} =-\frac{\ln 2}{\ln\left(1-\frac{p}{100}\right)} \end{align*} Teilaufgabe b4 Aus der Aufgabenstellung:
Durch Schutzmaßnahmen wird – bei sonst gleichbleibenden Modellannahmen – der Bruterfolg auf die Quote von $\frac{5}{9}$ Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr erhöht.
Wir überlegen uns wie die Matrix angepasst werden muss. Die Brut findet nach Aufgabenstellung im dritten Stadium statt. Es ist also in der Abbildung der Eintrag von $x_3$ nach $x_1$ der angepasst werden muss. Also $L_{13}$ wird von $0.5$ auf $\frac{5}{9}$ geändert. \begin{align*} \hat{L}=\left(\begin{matrix} 0& 0& \frac{5}{9}\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix}\right) \end{align*} \textbf{Zu zeigen} ist, dass \begin{align*} n \begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 9 \end{pmatrix} \end{align*} ein Fixvektor der angepassten Matrix ist. Wir könnten jetzt wie oben wieder ein Gleichungssystem aufstellen und lösen. Stattdessen können wir aber den schnelleren Weg gehen, indem wir den Vektor durch die Abbildung schicken, und schauen, was rauskommt. \begin{align*} \left(\begin{matrix} 0& 0& \frac{5}{9}\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix}\right) \begin{pmatrix} 5n\\ 3n\\ 9n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5n\\ 3n\\ 9n \end{pmatrix} \end{align*} passt also.

Teilaufgabe b5

Wählen wir in (4) z.B. $n=1$, so ergibt sich als stationäre Verteilung $\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 9 \end{pmatrix}$ Die Gesamtzahl der Vögel ist dann $5+3+9=17$. Damit können die Anteile der Altersgruppen an der Gesamtpopulation berechnet werden. \begin{align*} &p_1 = \frac{5}{17} \approx 29.4 \%\\ &p_2 = \frac{3}{17} \approx 17.6 \%\\ &p_3 = \frac{9}{17} \approx 52.9 \% \end{align*} Man kann für jeden Anteil zeigen, dass diese Anteile von $n$ unabhängig sind, z.B. \begin{align*} &p_1 = \frac{5n}{5n+3n+9n} = \frac{5}{17} \end{align*} Hängt nicht mehr von $n$ ab, weil sich $n$ kürzen lässt. Passt also.

Teilaufgabe c Die Matrix können wir direkt aus dem Übergangsgraphen ablesen. \begin{align*} \left( \begin{matrix} 0& 0.8\\ 0.5& 0.6 \end{matrix} \right) \end{align*} Bei dieser Vogelart werden nur zwei Altersgruppen unterschieden. Die erste Brut findet schon im 2. Lebensjahr statt. Die Überlebensrate beträgt im 1. Lebensjahr 0,5 und in den folgenden Lebensjahren jeweils 0,6. Auf einen Elternvogel kommen pro Jahr 0,8 Jungvögel.

Aufgabe zu Pythagoras (mit Lösung)

Gegeben Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a,b, und Hypotehnuse c. Sei $a = 5 cm$ und $b=12 cm$.

• Machen Sie sich mit einer Zeichnung klar, dass ein rechtwinkliges Dreieck über die beiden Seitenlängen oben eindeutig definiert ist. Zeichnen Sie das Dreieck.
• Notieren Sie den Satz des Pythagoras, der für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt
• Berechnen Sie die Seite c
• Notieren Sie beide Gleichungen des Kathetensatzes
• Stellen Sie die eine Gleichung nach $p$ und die andere Gleichung nach $q$ um.
• Berechnen Sie $p$ und $q$
• Prüfen Sie anhand der Ergebnisse die Beziehung $p+q=c$
• Berechnen Sie die Oberfläche des Dreiecks.
• Berechnen Sie die anderen beiden Höhen des Dreiecks, indem Sie die Formel für die Oberfläche nutzen.

Lösung

Es gilt Pythagoras: \begin{align*} a^2+b^2 = c^2 \Leftrightarrow c = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 cm \end{align*} Kathetensatz umstellen \begin{align*} & a^2 = pc \Leftrightarrow p = \frac{a^2}{c}\\ & b^2 = qc \Leftrightarrow q = \frac{b^2}{c} \end{align*} Nun einsetzen \begin{align*} p = \frac{25}{13} \\ q = \frac{144}{13} \end{align*} Wir überlegen, ob wir die Brüche noch kürzen können. Das geht aber nicht! Wir testen nun, ob $p+q = c$ gilt, indem wir die Brüche addieren: \begin{align*} p+q = \frac{25}{13} + \frac{144}{13} = \frac{25 + 144}{13} = \frac{169}{13} = 13 [\text{cm}] \end{align*} Zur Berechnung der Oberfläche des Dreiecks brauchen wir nun die Höhe. Dazu wenden wir den Höhensatz an: \begin{align*} h= \sqrt{pq} = \sqrt{ \frac{25}{13} \cdot \frac{144}{13}} = \frac{\sqrt{3600}}{ \sqrt{13^2}} = \frac{60}{13} \end{align*} Und damit ist die Fläche bekannt (nach dem Höhensatz gehört die Höhe zur Seite c) \begin{align*} A = \frac{ch}{2} = 30 \end{align*} Nun wollen wir noch die anderen Höhen berechnen: \begin{align*} A = \frac{1}{2}a h_a \Leftrightarrow h_a = \frac{2A}{a} = h_a \end{align*} Nach einsetzten folgt: \begin{align*} h_a = 12 cm\\ h_b = 5 cm \end{align*} Was zu erwarten war, da es sich ja um ein rechtwinkliges Dreieck handelt

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras

Sei ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Die Bezeichungen der Seite folgen dem obigen Bild mit $\gamma = 90°$ Dann gilt \begin{equation} a^2 + b^2 = c^2 \end{equation} Wir wollen nun überlegen, wie wir den Satz des Pythagoras nutzen können um den Flächeninhalt zu berechnen: Wir erinnern uns $A=\frac{ah}{2}$ Sagen wir, wir kennen die Seiten $a,b,c$ dann möchten wir gerne mit dem Satz des Pythagoras die Höhe bestimmen, denn dann kennen wir auch die Fläche.

Höhensatz

Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c gegeben. Sei außerdem die Seite c durch die Höhe des Dreiecks in zwei Teilstrecken p und q unterteilt, sodass a p h wieder ein rechtwinkliges Dreieck und h b q auch ein rechtwinkliges Dreieck bilde. (siehe Skizze) \textbf{Dann gilt} für die Höhe h \begin{equation} h^2 = pq \Leftrightarrow h = \sqrt[2]{pq} \end{equation}

Beweis des Höhensatzes

Wir haben drei rechtwinklige Dreiecke, die wir je mit dem Satz des Pythagoras beschreiben können \begin{align*} &I: (p+q)^2 = a^2+b^2\\ &II: a^2 = h^2 + p^2\\ &III: b^2 = q^2 + h^2 \end{align*} Wir wenden auf Gleichung I die binomische Formel an und erhalten \begin{align*} & I: p^2+q^2 +2pq = a^2+b^2\\ &II: a^2 = h^2 + p^2\\ &III: b^2 = q^2 + h^2 \end{align*} Nun setzen wir Gleichung II und III in I ein \begin{align*} p^2+q^2 +2pq &= a^2+b^2 = h^2 + p^2 + q^2 + h^2 \\ \Leftrightarrow 2h^2 = 2pq \\ \Leftrightarrow h^2 = pq \\ \Leftrightarrow h = \sqrt{pq} \end{align*} was zu zeigen war.

Kathetensatz

Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c gegeben. Sei außerdem die Seite c durch die Höhe des Dreiecks in zwei Teilstrecken p und q unterteilt, sodass a p h wieder ein rechtwinkliges Dreieck und h b q auch ein rechtwinkliges Dreieck bilde. (siehe Skizze) \textbf{Dann gilt} \begin{equation} a^2 = pc \end{equation} \begin{equation} b^2 = qc \end{equation}

Beweis Kathetensatz

Wegen Pythagoras gilt: \begin{align*} c^2 = a^2 + b^2 \end{align*} Wir stellen nach der Unbekannten um \begin{align*} &a^2 = c^2 - b^2 = (p+q)^2 - b^2\\ & = p^2 + q^2 +2pq -b^2\\ \end{align*} Wir nutzen nochmal Pythagoras, diesmal im bqh-Dreieck $b^2 = q^2 + h^2$. \begin{align*} & = p^2 + q^2 +2pq -(q^2+h^2)\\ & = p^2 + 2pq -h^2 \end{align*} Außerdem im hpa-Dreieck: $h^2+p^2 = a^2 \Leftrightarrow h^2 = a^2 -p^2$ \begin{align*} & = p^2 + 2pq -a^2 +p^2\\ & = 2p^2 + 2pq -a^2 \end{align*} Wir schreiben nochmal die Gleichung auf und klammern dann aus \begin{align*} a^2 = 2p^2 + 2pq -a^2 \Leftrightarrow 2 a^2 = 2p(p+q) = 2pc \end{align*} \begin{align*} \Leftrightarrow a^2= pc \end{align*} Was zu zeigen war.

Das allgemeine Dreieck

Im Bild sind die Bezeichnungen f¨ur die einzelnen Punkte, Seiten und Winkel angegeben. Wir geben hier die wichtigsten Formeln f¨ur das allgemeine Dreieck an. Wir geben die wichtigsten Formeln an. Für die Fläche gilt: \begin{equation} A=\frac{1}{2} a h \end{equation} Und für den Umfang gilt: \begin{equation} u=a+b+c \end{equation}

Beispiel Fracking II (Kurvendiskussion mit Exponentialfunktion)

Diese Aufgabe erweitert diese Aufgabe

Wir betrachten nochmal die Situation wie in diese Aufgabe. Dort wurde die Förderrate einer Lagerstätte mit \begin{equation} f(t)=(200-5t)\cdot e^{0.2t} \qquad 0\le t \le 40 \end{equation} modelliert. Wir berechnen noch weitere Teilaufgaben, nämlich:

• Gesucht ist die Stammfunktion, welche die Gasmenge angibt, die seit Beginn der Förderung bis zum Zeitpunkt gefördert wird. Weisen Sie nach, dass die Funktion \begin{equation} F(t) = 25(45-t)\cdot e^{0.2t}-1125 \end{equation} die gesuchte Eigenschaft hat.
• Wie viel Gas wird in der gesamten Förderdauer gewonnen?
• Die Fördergesellschaft beschließt nach dem 35. Monat die Förderung so zu steuern, dass weitere Absinken der Förderrate nur noch linear erfolgt und durch eine Funktion der Gestalt $g(x)=ax+b$ erfasst werden kann. Die Förderung soll auf diese Weise erst nach 50 Monaten zum erliegen kommen. Bestimmen Sie $a$ und $b$.
• Durch die lineare Streckung der Förderrate ab dem 35 Monat erhöht sich die insgesamt geförderte Gasmenge deutlich. Wie groß ist die zusätzlich gewonnene Gasmenge?

Lösung

• Beweis: \begin{align*} &\frac{dF}{dt} = 25 \cdot 0.2 \cdot (45-t) e^{0.2t} - 25 e^{0.2t}\\ &= 5 (45 - t)e^{0.2t} - 25 e^{0.2t}\\ &= (225-5t)e^{0.2}-25e^{0.2t}\\ &= (200-5t)e^{0.2t} = f(t) \end{align*} qed.
• Wir wollen die Fläche unter der Kurve bestimmen, solange bis die Quelle versiegt. Daher berechnen wir zunächst die Nullstelle (denn an der Stelle versiegt die Quelle) \begin{align*} (200-5t)e^{0.2t}=0 \Rightarrow 200-5t=0 \Rightarrow t=40 \end{align*} Nun berechnen wir das bestimmte Integral \begin{align*} &\int_0^{40} f(t) \; dt \\ &= \left[ 25 (45-40)e^{0.2\cdot 40} - 1125 \right] - \left[ 25 (45-0)e^0 - 1125 \right]\\ &= 25\cdot 5 \cdot e^8 - 25\cdot 45\\ &\approx 371495 \end{align*}
• Zum generellen Vorgehen: Wir werden suchen eine Geradengleichung. Eine Gerade ist immer durch zwei Bediungungen eindeutig bestimmt (z.B. zwei Punkte oder auch ein Punkt und eine Steigung). Wir haben die beiden Bediungengen \begin{align*} &g(35)=f(35)\\ &g(50)=0 \end{align*} Wir können den Wert $f(35)$ direkt berechnen und nennen ihn im Folgenden $A$ \begin{align*} f(35) = 27415.828960713 := A \end{align*} Dann folgt das Gleichungssystem: \begin{align*} &I: &35m+b = A\\ &II: &50m+b=0 \end{align*} Wegen II ist $b=-50m$ dies setzen wir in I ein: \begin{align*} 35m-50m = -15m = A \Leftrightarrow m = \frac{-A}{15} \end{align*} Und m wieder in II einsetzen macht b berechenbar: \begin{align*} 50m+b= \frac{-50A}{15} + b = 0 \Leftrightarrow b = \frac{10}{3}A \end{align*} Somit folgt für die Lösung des Gleichungssystems: \begin{align*} &b = \frac{10}{3}A = 91386.09653571 \\ &m = -\frac{1}{15}A = - 1827.72 \end{align*} Wir schreiben nochmal die Geradengleichung auf: \begin{align*} g(t)=-\frac{1}{15}At + \frac{10}{3}A \end{align*} Das geförderte Gas kann dann über das Integral berechnet werden: \begin{align*} &\int_{35}^{50} (-\frac{1}{15}At + \frac{10}{3}A) \; dt \\ &= \left[-\frac{1}{15}A \frac{1}{2} t^2 + \frac{10}{3}At\right]_{t=35}^{t=50}\\ &= \left[-\frac{1}{30}A t^2 + \frac{10}{3}At\right]_{t=35}^{t=50}\\ &= 205618.7172054 \end{align*} Was gewinnt die Gasgesellschaft nun durch die Ängerung der Fördermethode? Dazu benötigen wir noch das bestimmte Integral \begin{align*} \int_0^{35} f(t) \; dt = 273033 \end{align*} Gesamte Fördermenge mit Änderung der Fördermethode \begin{align*} 205618 + 273033 = 478651 \end{align*} Im Vergleich Ohne Änderung der Fördermethode \begin{align*} 371495 \end{align*}

Beispiel: Fracking (Kurvendiskussion mit Exponentialfunktion)

Beim hydraulischen Fracking werden in tiefen Gesteinsschichten durch Hochdruckbohrungen Risse erzeugt, durch die das im Gestein enthaltene Gas gewonnen werden kann. Die momentane Förderrate einer solchen Lagerstätte wird durch die Funktion \begin{equation} f(t)=(200-5t)\cdot e^{0.2t} \qquad 0\le t \le 40 \end{equation} erfasst. Dabei ist $t$ die Zeit seit Förderbeginn in Monaten und $f(t)$ die Förderrate zur Zeit $t$ in der Einheit $1000 \; \frac{m^3}{\text{Monat}}$.

• Bestimmen Sie die Förderrate zu Beginn, nach 12 und nach 24 Monaten.
• Bestimmen Sie die Ableitung der Förderrate
• Bestimmen Sie das Zeitpunkt und Höhe der maximalen Förderrate
• In welchem Zeitraum liegt die Förderrate bei mindestens $20 \; \text{Mio.} \; \frac{m^3}{\text{Monat}} $

Aufgabenstellung verstehen: In (a) ist nach Werten der Funktion gefragt. Hier müssen einfach die Stellen 0, 12, 24 in die Funktion eingesetzt werden und der Funktionswert soll bestimmt werden. In (b) muss die Ableitung bestimmt werden, dazu wird man die Produkt- und Kettenregel verwenden. In (c) soll das lokale Maximum bestimmt werden, dazu bestimmt man zunächst über den Ansatz $f'(x)=0$ einen/die Kandidaten für ein Maximum und prüft dann mit dem hinreichenden Kriterium, ob auch wirklich ein Maximum vorhanden ist. Dann berechnet man noch den Funktionswert an der Stelle des Maximums und ist fertig. In (d) ist nach einem Intervall gefragt. Dies kann man sich entweder an der Zeichnung klar machen oder Rechnerisch über den Ansatz $f(t)=20 000$ berechnen.

Lösung

Teilaufgabe a \begin{align*} f(0)&=200\\ f(12)&=1543.24\\ f(24)&=9720.83 \end{align*} Teilaufgabe b \begin{align*} f(t)&=(200-5t)\cdot e^{0.2t}\\ f'(t)&= -5 \cdot e^{0.2 t} + (200-5t) \cdot 0.2 \cdot e^{0.2t}\\ &= e^{0.2t} \cdot (40-t-5)\\ &= e^{0.2t} \cdot (35-t) \end{align*} Teilaufgabe c Wir untersuchen auf lokale Extrema \begin{align*} f'(x)=0 \Rightarrow 35-t = 0 \Leftrightarrow t=35 \end{align*} Hinreichend: \begin{align*} f''(t) &= -1 e^{0.2t} + (35-t) 0.2 e^{0.2}\\ &=-e^{0.2t}+(7-0.2t)e^{0.2t} \\ &= (7-1-0.2t)e^{0.2t} \\ &= (6-0.2t)e^{0.2t} \end{align*} Den Kandidaten für das Extremum einsetzten. \begin{align*} f''(x)=(6-0.2\cdot 35)e^{0.2\cdot 35} = (6-7)e^7 = -e^7 <0 \end{align*} Es handelt sich also um einen Hochpunkt. Teilaufgabe d Die Gleichung \begin{equation} (200-5t)e^{0.2t}-20 000 = 0 \end{equation} kann nicht analytisch gelöst werden. (Man kann also durch Umformen nicht nach $t$ auflösen). Der Taschenrechner kann durch nummerische Verfahren aber zwei Lösungen finden. Diese sind \begin{align*} t_1 &= 29.915\\ t_2 &= 37.997 \end{align*}

Alles hat Grenzen - auch das bestimmte Integral

Sei $f(x)$ eine Funktion und $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f$. Dann berechnet man das bestimmte Integral in den Grenzen $a$ bis $b$ zu \begin{equation} \int_a^b f(x) \; dx = F(b)-F(a) \end{equation}

Übung: Integrieren Sie!

• $f(x)=1$
• $f(x)=x$
• $f(x)=\frac{1}{a}x$
• $f(x)=x+1$
• $f(x)=e^x$
• $f(x)=e^{2x}$
• $f(x)=e^{2x+1}$
• $f(x)=e^{2x}+1$

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LÖSUNGEN

• $\int 1 \; dx = x +c$
• $\int x \; dx = \frac{1}{2} x^2 + c$
• $\int \frac{1}{a}x \; dx = \frac{1}{a}\int x \; dx = \frac{1}{a} \frac{1}{2} x^2 + c= \frac{x^2}{2a} + c$
• $\int x+1 \; dx = \frac{1}{2}x^2 + x + c$
• $\int e^x \; dx = e^x +c$
• $\int e^{2x} \; dx = \frac{1}{2} e^{2x} +c$
• $\int e^{2x+1} \; dx = \frac{1}{2} e^{2x+1}+c$
• $\int e^{2x}+1 \; dx = \frac{1}{2} e^{2x+1} + x + c $

Integral

Definition: Stammfunktion

Sei $f(x)$ eine Funktion. Falls für die Funktion $F(x)$ gilt \begin{equation} F'(x)=f(x) \end{equation} dann heißt $F(x)$ Stammfunktion von $f(x)$ und man schreibt: \begin{equation} \int f(x) \; dx = F(x) \end{equation}

Relativ leicht ist das Integrieren von Polynomen. Wir kennen bereits die Ableitungsregel \begin{equation} f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=nx^{n-1} \end{equation} Daraus kann man leicht die Integrationsregel bestimmen. \begin{equation} f(x)=x^n \Rightarrow F(x)=\int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} \end{equation} Beispiele: \begin{align*} &\int dx = x\\ &\int x \; dx = \frac{1}{2} x^2 \end{align*} Wichtige Eigenschaften: Das Integral ist linear, d.h. \begin{equation} \int \left( f(x) + g(x) \right) \; dx = \int f(x) \; dx + \int g(x) \; dx \end{equation}

Steckbriefaufgaben mit Exponentialfunktion: Beispiel

Beispiel: Gesucht ist eine Funktion der Art \begin{align*} f(x)=ae^{bx} \end{align*} Sodass die Punkte $(0,3)$ und $(5,2)$ auf dem Graphen liegen. Bestimmen Sie $a$ und $b$

Lösung

Es muss das Gleichungssystem \begin{align*} &I: &ae^{0\cdot b} = 3\\ &II: &ae^{5b}=2 \end{align*} Gelöst werden. Aus I sieht man sofort, dass $a=3$ gilt. Setzt man dies in II ein, so gilt \begin{align*} &3e^{5b} = 2 \Leftrightarrow e^{5b} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 5b = \ln\left(\frac{2}{3}\right)\\ & \Leftrightarrow b = \frac{1}{5} \ln\left(\frac{2}{3}\right) \approx -0.081 \end{align*}

Exponentialfunktion

Die Funktion \begin{equation} f(x)=e^x \qquad e = 2,71828\dots \end{equation} ist besonders interessant, denn sie erfüllt die beiden Eigenschaften:

• $f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x$
• $f(0)=1$

Für das Rechnen mit der Exponentialfunktion ist noch wichtig:
Für große negative Zahlen wird der Wert der Exponentialfunktion fast null. Aber genau null wird sie nie. Für positive große Zahlen geht die Exponentialfunktion gegen unendlich. Kennt man diese Eigenschaft kann man z.B. die Folgerung in \ref{exp2} leicht nachvollziehen:
\begin{equation} \label{exp2} 2x\cdot e^x = 0 \Rightarrow 2x=0 \Leftrightarrow x=0 \end{equation}

Kurvendiskussium: Beispiel mit einer Exponentialfunktion

Wir möchten im Folgenden beispielhaft für eine Funktion eine Kurvendiskussion durchführen. Sei die Funktionsgleichung gegeben: \begin{equation} f(x)=(2-x)e^x \end{equation} Wir bestimmen zunächst die Ableitungen: Mit Produktregel finden wir \begin{align*} f'(x) &=(2-x)' \cdot e^x + (2-x) \cdot (e^x)'\\ & =(-1) \cdot e^x + (2-x) \cdot e^x\\ &=(2-x-1) \cdot e^x\\ &=(1-x) \cdot e^x \end{align*} Nochmals ableiten gibt die zweite Ableitung \begin{align*} f''(x)&=e^x \cdot (1-x) + e^x \cdot (-1) \\ &=(1-x-1)\cdot e^x\\ &=-xe^x \end{align*} Nochmals ableiten gibt die dritte Ableitung. \begin{align*} f'''(x)&= (-1)\cdot e^x + (-x)\cdot e^x \\ &= (-x-1) e^x \end{align*}

Nullstellen

\begin{align*} f(x)=0 \Rightarrow (2-x)\cdot e^x = 0 \Rightarrow 2-x = 0 \Leftrightarrow x=2 \end{align*} Die Funktion hat also eine Nullstelle bei $x_0 = 2$

Lokale Extrema

Ansatz: $f'(x)=0$
Rechnung:
\begin{align*} &f'(x) = (1-x) \cdot e^x = 0\\ \Rightarrow & 1-x=0 \Leftrightarrow x = 1 \end{align*}

Hinreichendes Kriterium prüfen: \begin{align*} f''(x=1) = -1e^1 = -e <0 \end{align*} Es handelt sich also um ein lokales Maximum. Wir berechnen noch die Koordinaten des Maximums, dazu setzen wir die Stelle des Maximums $x_{max} = 1$ in $f(x)$ ein: \begin{align*} f(x_{max})=f(1)=(2-1)\cdot e^1 = 1e^1 = e \end{align*} Hochpunkt $H(1,e)$

Wendepunkt

: Die Rechnungen funktionieren genau wie beim Extremum, nur um eine Ableitung verschoben: \begin{align*} f''(x)=0 \Leftrightarrow -xe^x = 0 \Leftrightarrow -x = 0 \Leftrightarrow x=0 \end{align*} hinreichend: \begin{align*} f'''(x_w) = f'''(0)=(-0-1) e^0 = -1 <0 \end{align*} Wendepunkt mit Links-Rechts-Krümmung. Wir berechnen noch die Koordinaten des Wendepunkts: \begin{align*} f(x_w)= f(0)=2 \end{align*} Wendepunkt bei $W(0,2)$

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Exponentialfunktion

Spezielles Beispiel, in dem das hinreichende Kriterium für lokale Extrema nicht erfüllt ist

Sei die Funktion gegeben: \begin{equation} f(x)=x^3 \end{equation} Wir berechnen zunächst die Ableitungen \begin{align*} f'(x)&=3x^2\\ f''(x) &= 6x\\ f'''(x) &= 6 \end{align*} Nun untersuchen wir auf lokale Extrema: notwendig: $f'(x)=0$ \begin{align*} f'(x)=0 \Rightarrow 3x^2=0 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{0} \Leftrightarrow x=0 \end{align*} Die Stelle $x_0 = 0$ ist also ein Kandidat für ein lokales Extremum. Wir prüfen das hinreichnde Kriterium: \begin{align*} f''(x_0) = f''(0) = 6\cdot 0 = 0 \end{align*} An dieser Stelle wissen wir, dass es kein lokales Extremum sein kann. Schaut man ein wenig über den Tellerrand, erkennt man dass offensichtlich ist das notwendige Kriterium für Wendepunkte erfüllt. Wir prüfen das hinreichende Kriterium für Wendepunkte \begin{align*} f'''(x_0) = 6 \end{align*} Da die dritte Ableitung konstant 6 ist, ist das hinreichde Kriterium trivialerweise erfüllt. Wir folgern, dass an der Stelle 0 ein Wendepunkt vorliegt. Wir berechnen noch die Koordinaten. \begin{align*} f(0) = 0^3 = 0 \end{align*} Es liegt ein Wendepunkt an $W(0,0)$.

Zur Bedeutung der Ableitung

• die erste Ableitung gibt die Tangentensteigung der Funktion an. Also gibt die Ableitung an, wie sich die Funktion ändert, wenn man ein klein wenig an x wackelt, also ein klein wenig weiter geht.
• die zweite Ableitung gibt dann die Tangentensteigung der ersten Ableitung an. Also eine Änderung der Steigung der Funktion selbst. Die Änderung der Steigung gibt aber gerade die Krümmung an. Untersucht man nun z.B. auf lokale Extrema vergleicht man im hinreichenden Kriterium die zweite Ableitung mit Null. Für ein lokales Extremum muss die Kurve gekrümmt sein. Ein Berg oder ein Tal kann nur durch Krümmung erreicht werden, ansonsten hätte man ein Plateau, dort ändert sich nichts.

Basics of Analysis

Mit einer Kurvendiskussion untersuchen wir das Verhalten Funktionen. Eine Funktion $y=f(x)$ ordnet jedem $x$ ein $y$ zu. Kann als Graph dargestellt werden. Charakteristische Punkte sind Nullstellen, Achsenschnittpunkte, Extremstellen, Wendestellen. Desweiteren interessant ist das Monotonieverhalten.

Nullstellen

Nullstellen sind die stellen, an denen der Graph der Funktion die X-Achse schneidet. Um die Nullstelle(n) zu berechnen nutzt man den Ansatz: \begin{equation} f(x)=0 \end{equation}

Y-Achsenabschnitt

Der Schnittpunkt zwischen Funktionsgraph und Y-Achse heißt Y-Achsenabschnitt. Man berechnet ihn, indem man die Funktion an der Stelle $x=0$ auswertet. \begin{equation} f(0)=\dots \end{equation}

Ableitung

Das hier ist estwas formaler zur Ableitung. Für die Rechnung wird das nicht benötigt, ist aber Hintergrundwissen! Falls du das nicht verstehst, überspringen.\\ Definition: $f(x)$ eine Funktion heißt an der Stelle $x_0$ differenzierbar, genau dann wenn der Grenzwert \begin{equation} f'(x_0)= \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0}{x-x_0} \end{equation} existiert. In dem Fall heißt $f'(x_0)$ Ableitung der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$.

Extremstellen

Sei $f'(x)$ die Ableitung von $f(x)$. Dann hat $f$ an der Stelle $x_0$ ein lokales Extremum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• $f'(x)=0$
• $f''(x) \neq 0$ oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung.

Ansatz zur Untersuchng auf Extrema: $f'(x)=0$

Wendestellen

Funktion $f(x)$ hat an der Stelle $x_w$ einen Wendepunkt, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• $f''(x_w)=0$
• $f'''(x_w)\neq 0$ oder Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.

Ansatz zur Untersuchng auf Wendestellen: $f''(x)=0$

Monotonie

Die Monotonie einer Funktion $f(x)$ beschreibt, wie sich $f(x)$ in einem Intervall verhält. Steigt $f(x)$ im Intervall immer oder fällt $f(x)$ auch? Der Begriff Monotonie ist direkt mit der Steigung verknüpft. Zunächst schauen wir uns aber die elementare Definition an.

• Eine Funktion $f(x)$ heißt monoton steigend, wenn für alle Zahlen $a,b$ mit $a
• Eine Funktion $f(x)$ heißt streng monoton steigend, wenn für alle Zahlen $a,b$ mit $a
• Eine Funktion $f(x)$ heißt monoton fallend, wenn für alle Zahlen $a,b$ mit $a
• Eine Funktion $f(x)$ heißt streng fallend steigend, wenn für alle Zahlen $a,b$ mit $a f(b)$ gilt.

Wie kann man nun mit der Ableitung argumentieren? Relativ einfach. Die Ableitung gibt an, wie die Steigung der Funktion ist. Weiß man für ein Intervall, dass die Ableitung immer größer als Null ist $f'(x)>0$, so ist die Funktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Die anderen Begriffe können analog übertragen werde.

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen haben die Form \begin{equation} \label{mxb} f(x)=mx+b \end{equation} Dabei ist

• $m$ die Steigung der Funktion
• $b$ der Y-Achsenabschnitt

Lineare Funktionen sind Geraden im Koordinatensystem. Ein möglicher Aufgabentyp wäre nun, bei einer gegebener Zeichnung die Funktionsgleichung zu finden. Wie bewerkstelltigt man dass? Recht einfach. Sind uns $m$ und $b$ bekannt, kennen wir nach \ref{mxb} die Funktionsgleichung. $b$ kann man direkt ablesen, man muss nur schauen, wo die Funktion die y-Achse schneidet. Für $m$ legt man ein Steigungsdreieckin das Koordinatensystem und berechnet nach \begin{equation} \label{lineare-steigung} m= \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \end{equation} die Steigung. Ist beides bekannt setzt man nur noch in die obige Gleichung ein und hat die Aufgabe gelöst. Behandeln wir im folgenden ein Beispiel:

Was sind Funktionen

Funktionen beschreiben Beziehungen zwischen zwei Größen. Beziehungen zwischen den verschiedenen Größen dieser Welt zeigen sich immer wieder. Stellt man einen Kochtopf voller Wasser auf eine eingeschaltete Herdplatte, so ändert sich die Temperatur. Wenn ein Fahrer eines Autos das Gaspedal stärker tritt, ändert sich die Geschwindigkeit des Autos. Überall in der Welt finden sich Zusammenhänge. Wir wollen uns zunächst auf Zusammenhänge von (nur) zwei Größen beschränken.
Eine Funktion ist also eine Beziehung zwischen zwei Größen, die wir hier für eine erste Betrachtung $x$ und $y$ nennen. Eine Beziehung zwischen den $x$ und $y$ können wir z.B. durch eine Gleichung aufschreiben, in denen beide Größen auftreten.
Die einfachste denkbare Beziehung zwischen zwei Größen ist wohl, dass beide Größen immer gleich sind. Die Gleichung dafür lässt sich leicht aufschreiben. $x=y$ ist also eine Gleichung, welche eine Funktion beschreibt, bei denen die beiden abhängigen Größen immer gleich sind.
Ein weiteres Beispiel ist eine Funktion, bei der eine Größe immer doppelt so groß ist, wie die andere. Eine passende Gleichung wäre $y=2x$. Man mache sich klar, dass auch die Gleichung $\frac{1}{2} y=x$ diesen Zusammenhang richtig beschreibt. Wir werden aber später feststellen, dass es einfacher ist, eine \textbf{Funktionsgleichung} immer nach $y$ aufzulösen.
Zu jeder Funktion lässt sich durch festsetzten einer Größe durch die Funktionsgleichung die zugehörige andere Größe berechnen. Das so erhaltene Wertepaar wird als \textbf{Punkt} bezeichnet. Eine Funktion beinhaltet unendlich viele Punkte.

Potenzen

Defintion

Das Wort Potenz stammt aus dem Lateinischen und bedeutet Vermögen, Macht. In der Mathematik wird als Kurzschreibweise die Potenz wie folgt eingeführt: \begin{align*} a^n = \underbrace{a\cdot a \cdot a \dots a}_{n \; \text{Faktoren}} \end{align*}

Multiplikation von Potenzen gleicher Basis

Man multipliziert zwei Potenzen mit gleicher Basis, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält. \begin{align*} a^r\cdot a^s = a^{r+s} \end{align*}

Division von Potenzen gleicher Basis

Man dividiert zwei Potenzen mit gleicher Basis, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält. \begin{align*} \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} \end{align*}

Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten

Man multipliziert zwei Potenzen mit gleichem Exponenten, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält. \begin{align*} a^r \cdot b^r = (ab)^r \end{align*}

negative Exponenten

Man definiert \begin{align*} a^{-1} = \frac{1}{a} \end{align*} Daraus folgt dann \begin{align*} a^{-n} = \frac{1}{a^n} \end{align*}

Null als Exponent

Für alle $a\neq 0$ gilt \begin{align*} a^0=1 \end{align*}

Übung zur Bruchrechnung

Fasse sinnvoll zusammen

a) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$

b) $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$

c) $\frac{2}{a}+\frac{3}{a}$

d) $\frac{a}{2}+\frac{a}{3}$

e) $\frac{a}{2}+\frac{b}{3}$

f) $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}$

g) $\frac{1}{2} / \frac{1}{4}$

h) $a / \frac{1}{4}$

i) $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$

j) $\frac{3a}{6b}\cdot \frac{b}{a}$

Regeln der Bruchrechnung

Addition von Brüchen

Man addiert zwei Brüche, indem man sie auf einen gleichen Nenner bringt (erweitern) und dann die Zähler addiert und den Nenner beibehält. Damit man zwei Brüche addieren kann muss der Nenner also gleich sein.

Multiplikation von Brüchen

Man multipliziert zwei Brüche, indem man Zähler mal Zähler rechnet und Nenner man Nenner. Merke: Die Nenner sind hier nicht wichtig.

Division von Brüchen

Man dividiert durch einen Bruch indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

Übung - Ausklammern

Klammere sinnvoll aus

a) $3a+3b$
b) $2x+x$
c) $3ax+5ax$
d) $-2a-4b$

Klammern und ausklammern

Wir betrachten zum Beginn unserer Überlegung ein einfaches Beispiel \begin{align*} 6 \text{Birnen} + 3 \text{Birnen} = 9 \text{Birnen} \end{align*} Wie man leicht sehen kann, reicht es an dieser Stelle aus $6+3$ zu rechnen und man weiß, wie viele Birnen man hat. Man könnte auch Sagen, man klammert Birnen aus. \begin{align*} (6+3) \text{Birnen} \end{align*} Auf einer abstrakteren Ebene können wir natürlich auch x ausklammern \begin{align*} 6x+3x = (6+3)x \end{align*} Auch könnte man 3 ausklammern \begin{align*} 6x+3x = (2x+x)3 = 3(2x+x) \end{align*}
Merke:
Das Ausklammern ist dem dividieren sehr ähnlich. Klammert man aus, so muss man jeden Summanden durch den ausgeklammerten Faktor teilen. Die Begründung ist die Punkt-vor-Strich Regel. Ggf. kann man es sich auch an dem Birnenbeispiel oben klarmachen.

Übung - Sehr einfache Gleichungen

Lösen Sie die folgenden Gleichungen.

a) $5 + 3x = 2$
b) $3x = 5 $
c) $x + 5 = 3$
d) $25x - 5 = 0$
e) $25x - 5x = 0$

Operatoren

Die Rangfolge der Operatoren ist wie folgt:

1. Klammer
2. Potenz
3. Multiplikation und Division
4. Addition und Subtraktion


Punkt vor Strich Die Punktrechnung hat Vorrang vor der Strichrechnung Beim Rechnen mit verschiedenen Operatoren ist im wesentlichen zu beachten, dass man nicht Äpfel mit Birnen verrechnet. Äpfel und Birnen \begin{align*} 2x + 2 \end{align*} kann nicht zusammengefasst werden, da ja 2 zunächst mit x multipliziert werden muss, das Ergebnis davon dann mit zwei addiert werden muss. \begin{align*} 2x + 2x \end{align*} Kann zusammengefasst werden. Vergleichen wir das wieder mit Äpfeln. Zwei Äpfel und zwei Äpfel sind vier Äpfel. Zwei x und zwei x sind vier x. \begin{align*} 2x + 2x = 4x \end{align*} Auflösen einer einfachen Gleichung \begin{align*} 2 + 2x + 3x = 1 \end{align*} Wir sehen, dass wir 2x und 3x zusammenfassen können \begin{align*} 2 + 5x = 1 \end{align*} Weiter findet man nichts zum zusammenfassen. Jetzt geht das Schaufeln los. Wir subtrahieren auf beiden Seiten 2. Damit bekommen wir die 2 von der Linken auf die rechte Seite \begin{align*} &2 - 2 + 5x = 1 - 2\\ &0 + 5x = -1\\ &5x = -1 \end{align*} Als nächstes teilen wir beide Seiten durch 5 \begin{align*} \frac{5x}{5}=\frac{-1}{5} \end{align*} Die 5 lässt sich links kürzen und wir erhalten x \begin{align*} &\frac{x}{1}= \frac{-1}{5}\\ &x=-\frac{1}{5} \end{align*}

Terme

Ein Term ist eine Verbindung von mehreren Größen, wie Zahlen oder Buchstaben. Dabei wird die Verbindung durch Operatoren hergestellt. Die für uns wichtigen Operatoren sind Addition + Subtraktion - Multiplikation * Division / sowie später Potenz, Wurzel usw.
Die Algebra könnte man als die Grammatik der Mathematik auffassen. Es ist wichtig, mit den Grundlagen der Algebra vertraut zu sein, denn jegliche Berechnung baut auf diesen Grundlagen auf. Wir befassen uns im Folgenden mit den unterschiedlichen Operatoren und dem Lösen von Gleichungen. Unter den Mathematikern gilt die folgende Konvention: Wenn kein Operator erkennbar ist, so geht man automatisch von der Multiplikation aus. \begin{align*} 2a = 2\cdot a \end{align*} ABER \begin{align*} 2\cdot 2 = 4 \neq 22 \end{align*}
DEFINITION: Gleichung
Eine Gleichung ist eine Gleichheitsbeziehung zwischen zwei Ausdrücken.
DEFINITION: Äquivalenz
Die Aussage einer Gleichung bleibt erhalten, wenn auf beiden Seiten die gleiche Operation ausgeführt wird. In diesem Fall heißen die Gleichungen äquivalent. Das mathematische Symbol ist $\Leftrightarrow$

Zahlen und Operatoren

Wir machen uns zunächst mit den Zahlen vertraut, mit denen wir rechnen. Da wären zunächst die natürlichen Zahlen, diese umfassen alle Zahlen, wie ein Kind, das gerade Zählen lernt, sie aufzählen würde. Formal kann man schreiben \begin{align*} \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\} \end{align*} Wenn wir nur mit den natürlichen Zahlen rechnen wollten, so könnten wir sie zwar addieren, subtrahieren wäre aber schon schwierig. Wollten wir nämlich eine größere Zahl von einer kleineren Zahl abziehen, dann wüssten wir kein Ergebnis zu nennen. Man erweitert den Zahlenbereich auf die ganzen Zahlen, welche also zusätzlich negative Zahlen enthalten, sowie die Null. Formal aufgeschrieben: \begin{align*} \mathbb{Z}=\{\dots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \} \end{align*} Möchte man nun dividieren erhält man das gleiche Problem, manche Ergebnisse liegen schlicht nicht im Zahlenbereich. Man erhält den Bereich der rationalen Zahlen, also die Menge aller Brüche aus ganzen Zahlen. \begin{align*} \mathbb{Q}= \{\frac{a}{b}: a,b \in \mathbb{Z}\} \end{align*} Dieser Zahlenbereich ist schon sehr schön, denn sehr viele Zahlen mit denen wir es zu tun haben sind in $\mathbb{Q}$ enthalten, jedoch längst nicht alle. Denken wir an die Kreiszahl, oder Wurzeln aus nicht-Quadratzahlen, dies sind Irrationale Zahlen. Man kann sie nicht so schön als Menge aufschreiben, wie die oberen drei. Für unsere Zwecke reicht es zu sagen, dass die Menge der Rationalen Zahlen zur Menge der Reellen Zahlen um die irrationalen Zahlen erweitert wird. Für alle Probleme der Schulmathematik sind die reellen Zahlen bestens geeignet. Sie umfassen die Natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen.