Wir betrachten nochmal die Situation wie in diese Aufgabe. Dort wurde die Förderrate einer Lagerstätte mit \begin{equation} f(t)=(200-5t)\cdot e^{0.2t} \qquad 0\le t \le 40 \end{equation} modelliert. Wir berechnen noch weitere Teilaufgaben, nämlich:
- Gesucht ist die Stammfunktion, welche die Gasmenge angibt, die seit Beginn der Förderung bis zum Zeitpunkt gefördert wird. Weisen Sie nach, dass die Funktion \begin{equation} F(t) = 25(45-t)\cdot e^{0.2t}-1125 \end{equation} die gesuchte Eigenschaft hat.
- Wie viel Gas wird in der gesamten Förderdauer gewonnen?
- Die Fördergesellschaft beschließt nach dem 35. Monat die Förderung so zu steuern, dass weitere Absinken der Förderrate nur noch linear erfolgt und durch eine Funktion der Gestalt $g(x)=ax+b$ erfasst werden kann. Die Förderung soll auf diese Weise erst nach 50 Monaten zum erliegen kommen. Bestimmen Sie $a$ und $b$.
- Durch die lineare Streckung der Förderrate ab dem 35 Monat erhöht sich die insgesamt geförderte Gasmenge deutlich. Wie groß ist die zusätzlich gewonnene Gasmenge?
Lösung
- Beweis: \begin{align*} &\frac{dF}{dt} = 25 \cdot 0.2 \cdot (45-t) e^{0.2t} - 25 e^{0.2t}\\ &= 5 (45 - t)e^{0.2t} - 25 e^{0.2t}\\ &= (225-5t)e^{0.2}-25e^{0.2t}\\ &= (200-5t)e^{0.2t} = f(t) \end{align*} qed.
- Wir wollen die Fläche unter der Kurve bestimmen, solange bis die Quelle versiegt. Daher berechnen wir zunächst die Nullstelle (denn an der Stelle versiegt die Quelle) \begin{align*} (200-5t)e^{0.2t}=0 \Rightarrow 200-5t=0 \Rightarrow t=40 \end{align*} Nun berechnen wir das bestimmte Integral \begin{align*} &\int_0^{40} f(t) \; dt \\ &= \left[ 25 (45-40)e^{0.2\cdot 40} - 1125 \right] - \left[ 25 (45-0)e^0 - 1125 \right]\\ &= 25\cdot 5 \cdot e^8 - 25\cdot 45\\ &\approx 371495 \end{align*}
- Zum generellen Vorgehen: Wir werden suchen eine Geradengleichung. Eine Gerade ist immer durch zwei Bediungungen eindeutig bestimmt (z.B. zwei Punkte oder auch ein Punkt und eine Steigung). Wir haben die beiden Bediungengen \begin{align*} &g(35)=f(35)\\ &g(50)=0 \end{align*} Wir können den Wert $f(35)$ direkt berechnen und nennen ihn im Folgenden $A$ \begin{align*} f(35) = 27415.828960713 := A \end{align*} Dann folgt das Gleichungssystem: \begin{align*} &I: &35m+b = A\\ &II: &50m+b=0 \end{align*} Wegen II ist $b=-50m$ dies setzen wir in I ein: \begin{align*} 35m-50m = -15m = A \Leftrightarrow m = \frac{-A}{15} \end{align*} Und m wieder in II einsetzen macht b berechenbar: \begin{align*} 50m+b= \frac{-50A}{15} + b = 0 \Leftrightarrow b = \frac{10}{3}A \end{align*} Somit folgt für die Lösung des Gleichungssystems: \begin{align*} &b = \frac{10}{3}A = 91386.09653571 \\ &m = -\frac{1}{15}A = - 1827.72 \end{align*} Wir schreiben nochmal die Geradengleichung auf: \begin{align*} g(t)=-\frac{1}{15}At + \frac{10}{3}A \end{align*} Das geförderte Gas kann dann über das Integral berechnet werden: \begin{align*} &\int_{35}^{50} (-\frac{1}{15}At + \frac{10}{3}A) \; dt \\ &= \left[-\frac{1}{15}A \frac{1}{2} t^2 + \frac{10}{3}At\right]_{t=35}^{t=50}\\ &= \left[-\frac{1}{30}A t^2 + \frac{10}{3}At\right]_{t=35}^{t=50}\\ &= 205618.7172054 \end{align*} Was gewinnt die Gasgesellschaft nun durch die Ängerung der Fördermethode? Dazu benötigen wir noch das bestimmte Integral \begin{align*} \int_0^{35} f(t) \; dt = 273033 \end{align*} Gesamte Fördermenge mit Änderung der Fördermethode \begin{align*} 205618 + 273033 = 478651 \end{align*} Im Vergleich Ohne Änderung der Fördermethode \begin{align*} 371495 \end{align*}
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