Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.
Satz des Pythagoras
Sei ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Die Bezeichungen der Seite folgen dem obigen Bild mit $\gamma = 90°$
Dann gilt
\begin{equation}
a^2 + b^2 = c^2
\end{equation}
Wir wollen nun überlegen, wie wir den Satz des Pythagoras nutzen können um den Flächeninhalt zu berechnen:
Wir erinnern uns $A=\frac{ah}{2}$ Sagen wir, wir kennen die Seiten $a,b,c$ dann möchten wir gerne mit dem Satz des
Pythagoras die Höhe bestimmen, denn dann kennen wir auch die Fläche.
Höhensatz
Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c gegeben. Sei außerdem die Seite c durch die Höhe des Dreiecks in zwei Teilstrecken p und q unterteilt, sodass a p h wieder ein rechtwinkliges Dreieck und h b q auch ein rechtwinkliges Dreieck bilde. (siehe Skizze) \textbf{Dann gilt} für die Höhe h
\begin{equation}
h^2 = pq \Leftrightarrow h = \sqrt[2]{pq}
\end{equation}
Beweis des Höhensatzes
Wir haben drei rechtwinklige Dreiecke, die wir je mit dem Satz des Pythagoras beschreiben können
\begin{align*}
&I: (p+q)^2 = a^2+b^2\\
&II: a^2 = h^2 + p^2\\
&III: b^2 = q^2 + h^2
\end{align*}
Wir wenden auf Gleichung I die binomische Formel an und erhalten
\begin{align*}
& I: p^2+q^2 +2pq = a^2+b^2\\
&II: a^2 = h^2 + p^2\\
&III: b^2 = q^2 + h^2
\end{align*}
Nun setzen wir Gleichung II und III in I ein
\begin{align*}
p^2+q^2 +2pq &= a^2+b^2 = h^2 + p^2 + q^2 + h^2 \\
\Leftrightarrow 2h^2 = 2pq \\
\Leftrightarrow h^2 = pq \\
\Leftrightarrow h = \sqrt{pq}
\end{align*}
was zu zeigen war.
Kathetensatz
Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c gegeben. Sei außerdem die Seite c durch die Höhe des Dreiecks in zwei Teilstrecken p und q unterteilt, sodass a p h wieder ein rechtwinkliges Dreieck und h b q auch ein rechtwinkliges Dreieck bilde. (siehe Skizze) \textbf{Dann gilt}
\begin{equation}
a^2 = pc
\end{equation}
\begin{equation}
b^2 = qc
\end{equation}
Beweis Kathetensatz
Wegen Pythagoras gilt:
\begin{align*}
c^2 = a^2 + b^2
\end{align*}
Wir stellen nach der Unbekannten um
\begin{align*}
&a^2 = c^2 - b^2 = (p+q)^2 - b^2\\
& = p^2 + q^2 +2pq -b^2\\
\end{align*}
Wir nutzen nochmal Pythagoras, diesmal im bqh-Dreieck $b^2 = q^2 + h^2$.
\begin{align*}
& = p^2 + q^2 +2pq -(q^2+h^2)\\
& = p^2 + 2pq -h^2
\end{align*}
Außerdem im hpa-Dreieck: $h^2+p^2 = a^2 \Leftrightarrow h^2 = a^2 -p^2$
\begin{align*}
& = p^2 + 2pq -a^2 +p^2\\
& = 2p^2 + 2pq -a^2
\end{align*}
Wir schreiben nochmal die Gleichung auf und klammern dann aus
\begin{align*}
a^2 = 2p^2 + 2pq -a^2 \Leftrightarrow 2 a^2 = 2p(p+q) = 2pc
\end{align*}
\begin{align*}
\Leftrightarrow a^2= pc
\end{align*}
Was zu zeigen war.
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