Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras

Sei ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Die Bezeichungen der Seite folgen dem obigen Bild mit $\gamma = 90°$ Dann gilt $$\begin{equation} a^2 + b^2 = c^2 \end{equation}$$ Wir wollen nun überlegen, wie wir den Satz des Pythagoras nutzen können um den Flächeninhalt zu berechnen: Wir erinnern uns $A=\frac{ah}{2}$ Sagen wir, wir kennen die Seiten $a,b,c$ dann möchten wir gerne mit dem Satz des Pythagoras die Höhe bestimmen, denn dann kennen wir auch die Fläche.

Höhensatz

Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c gegeben. Sei außerdem die Seite c durch die Höhe des Dreiecks in zwei Teilstrecken p und q unterteilt, sodass a p h wieder ein rechtwinkliges Dreieck und h b q auch ein rechtwinkliges Dreieck bilde. (siehe Skizze) \textbf{Dann gilt} für die Höhe h $$\begin{equation} h^2 = pq \Leftrightarrow h = \sqrt[2]{pq} \end{equation}$$

Beweis des Höhensatzes

Wir haben drei rechtwinklige Dreiecke, die wir je mit dem Satz des Pythagoras beschreiben können $$\begin{align*} &I: (p+q)^2 = a^2+b^2\\ &II: a^2 = h^2 + p^2\\ &III: b^2 = q^2 + h^2 \end{align*}$$ Wir wenden auf Gleichung I die binomische Formel an und erhalten $$\begin{align*} & I: p^2+q^2 +2pq = a^2+b^2\\ &II: a^2 = h^2 + p^2\\ &III: b^2 = q^2 + h^2 \end{align*}$$ Nun setzen wir Gleichung II und III in I ein $$\begin{align*} p^2+q^2 +2pq &= a^2+b^2 = h^2 + p^2 + q^2 + h^2 \\ \Leftrightarrow 2h^2 = 2pq \\ \Leftrightarrow h^2 = pq \\ \Leftrightarrow h = \sqrt{pq} \end{align*}$$ was zu zeigen war.

Kathetensatz

Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c gegeben. Sei außerdem die Seite c durch die Höhe des Dreiecks in zwei Teilstrecken p und q unterteilt, sodass a p h wieder ein rechtwinkliges Dreieck und h b q auch ein rechtwinkliges Dreieck bilde. (siehe Skizze) \textbf{Dann gilt} $$\begin{equation} a^2 = pc \end{equation}$$ $$\begin{equation} b^2 = qc \end{equation}$$

Beweis Kathetensatz

Wegen Pythagoras gilt: $$\begin{align*} c^2 = a^2 + b^2 \end{align*}$$ Wir stellen nach der Unbekannten um $$\begin{align*} &a^2 = c^2 - b^2 = (p+q)^2 - b^2\\ & = p^2 + q^2 +2pq -b^2\\ \end{align*}$$ Wir nutzen nochmal Pythagoras, diesmal im bqh-Dreieck $b^2 = q^2 + h^2$. $$\begin{align*} & = p^2 + q^2 +2pq -(q^2+h^2)\\ & = p^2 + 2pq -h^2 \end{align*}$$ Außerdem im hpa-Dreieck: $h^2+p^2 = a^2 \Leftrightarrow h^2 = a^2 -p^2$ $$\begin{align*} & = p^2 + 2pq -a^2 +p^2\\ & = 2p^2 + 2pq -a^2 \end{align*}$$ Wir schreiben nochmal die Gleichung auf und klammern dann aus $$\begin{align*} a^2 = 2p^2 + 2pq -a^2 \Leftrightarrow 2 a^2 = 2p(p+q) = 2pc \end{align*}$$ $$\begin{align*} \Leftrightarrow a^2= pc \end{align*}$$ Was zu zeigen war.