Wir möchten im Folgenden beispielhaft für eine Funktion eine Kurvendiskussion durchführen. Sei die Funktionsgleichung gegeben:
\begin{equation}
f(x)=(2-x)e^x
\end{equation}
Wir bestimmen zunächst die Ableitungen: Mit Produktregel finden wir
\begin{align*}
f'(x) &=(2-x)' \cdot e^x + (2-x) \cdot (e^x)'\\
& =(-1) \cdot e^x + (2-x) \cdot e^x\\
&=(2-x-1) \cdot e^x\\
&=(1-x) \cdot e^x
\end{align*}
Nochmals ableiten gibt die zweite Ableitung
\begin{align*}
f''(x)&=e^x \cdot (1-x) + e^x \cdot (-1) \\
&=(1-x-1)\cdot e^x\\
&=-xe^x
\end{align*}
Nochmals ableiten gibt die dritte Ableitung.
\begin{align*}
f'''(x)&= (-1)\cdot e^x + (-x)\cdot e^x \\
&= (-x-1) e^x
\end{align*}
Nullstellen
\begin{align*}
f(x)=0 \Rightarrow (2-x)\cdot e^x = 0 \Rightarrow 2-x = 0 \Leftrightarrow x=2
\end{align*}
Die Funktion hat also eine Nullstelle bei $x_0 = 2$
Lokale Extrema
Ansatz: $f'(x)=0$
Rechnung:
\begin{align*}
&f'(x) = (1-x) \cdot e^x = 0\\
\Rightarrow & 1-x=0 \Leftrightarrow x = 1
\end{align*}
Hinreichendes Kriterium prüfen:
\begin{align*}
f''(x=1) = -1e^1 = -e <0
\end{align*}
Es handelt sich also um ein lokales Maximum.
Wir berechnen noch die Koordinaten des Maximums, dazu setzen wir die Stelle des Maximums $x_{max} = 1$ in $f(x)$ ein:
\begin{align*}
f(x_{max})=f(1)=(2-1)\cdot e^1 = 1e^1 = e
\end{align*}
Hochpunkt $H(1,e)$
Wendepunkt
:
Die Rechnungen funktionieren genau wie beim Extremum, nur um eine Ableitung verschoben:
\begin{align*}
f''(x)=0 \Leftrightarrow -xe^x = 0 \Leftrightarrow -x = 0 \Leftrightarrow x=0
\end{align*}
hinreichend:
\begin{align*}
f'''(x_w) = f'''(0)=(-0-1) e^0 = -1 <0
\end{align*}
Wendepunkt mit Links-Rechts-Krümmung.
Wir berechnen noch die Koordinaten des Wendepunkts:
\begin{align*}
f(x_w)= f(0)=2
\end{align*}
Wendepunkt bei $W(0,2)$
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Exponentialfunktion
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