Spezielles Beispiel, in dem das hinreichende Kriterium für lokale Extrema nicht erfüllt ist

Sei die Funktion gegeben: \begin{equation} f(x)=x^3 \end{equation} Wir berechnen zunächst die Ableitungen \begin{align*} f'(x)&=3x^2\\ f''(x) &= 6x\\ f'''(x) &= 6 \end{align*} Nun untersuchen wir auf lokale Extrema: notwendig: $f'(x)=0$ \begin{align*} f'(x)=0 \Rightarrow 3x^2=0 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{0} \Leftrightarrow x=0 \end{align*} Die Stelle $x_0 = 0$ ist also ein Kandidat für ein lokales Extremum. Wir prüfen das hinreichnde Kriterium: \begin{align*} f''(x_0) = f''(0) = 6\cdot 0 = 0 \end{align*} An dieser Stelle wissen wir, dass es kein lokales Extremum sein kann. Schaut man ein wenig über den Tellerrand, erkennt man dass offensichtlich ist das notwendige Kriterium für Wendepunkte erfüllt. Wir prüfen das hinreichende Kriterium für Wendepunkte \begin{align*} f'''(x_0) = 6 \end{align*} Da die dritte Ableitung konstant 6 ist, ist das hinreichde Kriterium trivialerweise erfüllt. Wir folgern, dass an der Stelle 0 ein Wendepunkt vorliegt. Wir berechnen noch die Koordinaten. \begin{align*} f(0) = 0^3 = 0 \end{align*} Es liegt ein Wendepunkt an $W(0,0)$.