Zahlen und Operatoren

Wir machen uns zunächst mit den Zahlen vertraut, mit denen wir rechnen. Da wären zunächst die natürlichen Zahlen, diese umfassen alle Zahlen, wie ein Kind, das gerade Zählen lernt, sie aufzählen würde. Formal kann man schreiben \begin{align*} \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\} \end{align*} Wenn wir nur mit den natürlichen Zahlen rechnen wollten, so könnten wir sie zwar addieren, subtrahieren wäre aber schon schwierig. Wollten wir nämlich eine größere Zahl von einer kleineren Zahl abziehen, dann wüssten wir kein Ergebnis zu nennen. Man erweitert den Zahlenbereich auf die ganzen Zahlen, welche also zusätzlich negative Zahlen enthalten, sowie die Null. Formal aufgeschrieben: \begin{align*} \mathbb{Z}=\{\dots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \} \end{align*} Möchte man nun dividieren erhält man das gleiche Problem, manche Ergebnisse liegen schlicht nicht im Zahlenbereich. Man erhält den Bereich der rationalen Zahlen, also die Menge aller Brüche aus ganzen Zahlen. \begin{align*} \mathbb{Q}= \{\frac{a}{b}: a,b \in \mathbb{Z}\} \end{align*} Dieser Zahlenbereich ist schon sehr schön, denn sehr viele Zahlen mit denen wir es zu tun haben sind in $\mathbb{Q}$ enthalten, jedoch längst nicht alle. Denken wir an die Kreiszahl, oder Wurzeln aus nicht-Quadratzahlen, dies sind Irrationale Zahlen. Man kann sie nicht so schön als Menge aufschreiben, wie die oberen drei. Für unsere Zwecke reicht es zu sagen, dass die Menge der Rationalen Zahlen zur Menge der Reellen Zahlen um die irrationalen Zahlen erweitert wird. Für alle Probleme der Schulmathematik sind die reellen Zahlen bestens geeignet. Sie umfassen die Natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen.