Aufgabe zu Pythagoras (mit Lösung)

Gegeben Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a,b, und Hypotehnuse c. Sei $a = 5 cm$ und $b=12 cm$.

• Machen Sie sich mit einer Zeichnung klar, dass ein rechtwinkliges Dreieck über die beiden Seitenlängen oben eindeutig definiert ist. Zeichnen Sie das Dreieck.
• Notieren Sie den Satz des Pythagoras, der für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt
• Berechnen Sie die Seite c
• Notieren Sie beide Gleichungen des Kathetensatzes
• Stellen Sie die eine Gleichung nach $p$ und die andere Gleichung nach $q$ um.
• Berechnen Sie $p$ und $q$
• Prüfen Sie anhand der Ergebnisse die Beziehung $p+q=c$
• Berechnen Sie die Oberfläche des Dreiecks.
• Berechnen Sie die anderen beiden Höhen des Dreiecks, indem Sie die Formel für die Oberfläche nutzen.

Lösung

Es gilt Pythagoras: $$\begin{align*} a^2+b^2 = c^2 \Leftrightarrow c = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 cm \end{align*}$$ Kathetensatz umstellen $$\begin{align*} & a^2 = pc \Leftrightarrow p = \frac{a^2}{c}\\ & b^2 = qc \Leftrightarrow q = \frac{b^2}{c} \end{align*}$$ Nun einsetzen $$\begin{align*} p = \frac{25}{13} \\ q = \frac{144}{13} \end{align*}$$ Wir überlegen, ob wir die Brüche noch kürzen können. Das geht aber nicht! Wir testen nun, ob $p+q = c$ gilt, indem wir die Brüche addieren: $$\begin{align*} p+q = \frac{25}{13} + \frac{144}{13} = \frac{25 + 144}{13} = \frac{169}{13} = 13 [\text{cm}] \end{align*}$$ Zur Berechnung der Oberfläche des Dreiecks brauchen wir nun die Höhe. Dazu wenden wir den Höhensatz an: $$\begin{align*} h= \sqrt{pq} = \sqrt{ \frac{25}{13} \cdot \frac{144}{13}} = \frac{\sqrt{3600}}{ \sqrt{13^2}} = \frac{60}{13} \end{align*}$$ Und damit ist die Fläche bekannt (nach dem Höhensatz gehört die Höhe zur Seite c) $$\begin{align*} A = \frac{ch}{2} = 30 \end{align*}$$ Nun wollen wir noch die anderen Höhen berechnen: $$\begin{align*} A = \frac{1}{2}a h_a \Leftrightarrow h_a = \frac{2A}{a} = h_a \end{align*}$$ Nach einsetzten folgt: $$\begin{align*} h_a = 12 cm\\ h_b = 5 cm \end{align*}$$ Was zu erwarten war, da es sich ja um ein rechtwinkliges Dreieck handelt