Mit einer Kurvendiskussion untersuchen wir das Verhalten Funktionen. Eine
Funktion $y=f(x)$ ordnet jedem $x$ ein $y$ zu. Kann als
Graph dargestellt werden. Charakteristische Punkte sind Nullstellen, Achsenschnittpunkte, Extremstellen, Wendestellen. Desweiteren interessant ist das Monotonieverhalten.
Nullstellen
Nullstellen sind die stellen, an denen der Graph der Funktion die X-Achse schneidet. Um die Nullstelle(n) zu berechnen nutzt man den Ansatz:
\begin{equation}
f(x)=0
\end{equation}
Y-Achsenabschnitt
Der Schnittpunkt zwischen Funktionsgraph und Y-Achse heißt Y-Achsenabschnitt. Man berechnet ihn, indem man die Funktion an der Stelle $x=0$ auswertet.
\begin{equation}
f(0)=\dots
\end{equation}
Ableitung
Das hier ist estwas formaler zur Ableitung. Für die Rechnung wird das nicht benötigt, ist aber Hintergrundwissen! Falls du das nicht verstehst, überspringen.\\
Definition: $f(x)$ eine Funktion heißt an der Stelle $x_0$ differenzierbar, genau dann wenn der Grenzwert
\begin{equation}
f'(x_0)= \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0}{x-x_0}
\end{equation}
existiert.
In dem Fall heißt $f'(x_0)$ Ableitung der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$.
Extremstellen
Sei $f'(x)$ die Ableitung von $f(x)$. Dann hat $f$ an der Stelle $x_0$ ein lokales Extremum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- $f'(x)=0$
- $f''(x) \neq 0$ oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung.
Ansatz zur Untersuchng auf Extrema: $f'(x)=0$
Wendestellen
Funktion $f(x)$ hat an der Stelle $x_w$ einen Wendepunkt, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- $f''(x_w)=0$
- $f'''(x_w)\neq 0$ oder Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.
Ansatz zur Untersuchng auf Wendestellen: $f''(x)=0$
Monotonie
Die Monotonie einer Funktion $f(x)$ beschreibt, wie sich $f(x)$ in einem Intervall verhält. Steigt $f(x)$ im Intervall immer oder fällt $f(x)$ auch? Der Begriff Monotonie ist direkt mit der Steigung verknüpft. Zunächst schauen wir uns aber die elementare Definition an.
- Eine Funktion $f(x)$ heißt monoton steigend, wenn für alle Zahlen $a,b$ mit
$a
-
Eine Funktion $f(x)$ heißt streng monoton steigend, wenn für alle Zahlen $a,b$ mit
$a
-
Eine Funktion $f(x)$ heißt monoton fallend, wenn für alle Zahlen $a,b$ mit
$a
-
Eine Funktion $f(x)$ heißt streng fallend steigend, wenn für alle Zahlen $a,b$ mit
$a f(b)$ gilt.
Wie kann man nun mit der Ableitung argumentieren? Relativ einfach. Die Ableitung gibt an, wie die Steigung der Funktion ist. Weiß man für ein Intervall, dass die Ableitung immer größer als Null ist $f'(x)>0$, so ist die Funktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Die anderen Begriffe können analog übertragen werde.
Keine Kommentare:
Kommentar veröffentlichen