Begriffe der Vektorechnung

Im folgenden seien $\vec{a}$ und $\vec{b}$ Vektoren des dreidimensionalen Raumes. Es gilt also
$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3$ sowie $k$ ein Skalar, also $k \in \mathbb{R}$.

Kommutativität und Assoziativität
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$

Skalare Multiplikation
Möchte man $k \vec{a}$ berechnen, so muss $k$ zu jeder Komponente des Vektors $\vec{a}$
multipliziert werden.

$k \vec{a} = \begin{pmatrix} k a_x\\ k a_y \\ k a_z \end{pmatrix}$

Skalarprodukt
Multipliziert man zwei Vektoren skalar miteinander, so sind die beiden Definitionen für das Skalarprodukt äquivalent:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |a| |b| \cos(\varphi)$
$\vec{a} \cdot \vec{b} =  \sum_{i=1}^{3} a_i b_i$

Orthogonalität
Stehen zwei Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander, so gilt
$\vec{a} \bot \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Kreuzprodukt 


$\vec{a} \times \vec{b}= \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}$

Parallelität
Stehen zwei Vektoren parallel zueinander, so ist das Kreuzprodukt Null. Sind zwei Vektoren parallel, so sind sie linear abhängig, d.h. es existiert ein skalarer Faktor $\psi$, sodass gilt $$\begin{equation} \vec{v_1} + \psi \vec{v_2} = 0 \end{equation}$$

Die verschiedenen Schreibweisen von Funktionen und Ableitungen

Hi Leute,

ich habe schon ab und an die Frage nach den Schreibweisen von Funktionen und Ableitungen bekommen. (Wenn ihr auch eine Frage habt, mailt mit!!)

Leider ist eine Einheitliche Bezeichnung nicht so üblich, wie man sich das wünschen würde. Die meisten Bücher führen Funktionen als $$\begin{equation} f(x)=... \end{equation}$$ ein. Genauso kommt aber die Schreibweise $$\begin{equation} y=f(x) \end{equation}$$ vor. Lasst euch davon nicht verrückt machen. In jedem Fall steht Links der Name der Funktion und rechts davon steht dann ein Term in Abhängigkeit von x. Was ist nun mit der Ableitung. Auch hier beginne ich mit der häufigsten Schreibweise. Diese ist $$\begin{equation} f'(x) \end{equation}$$ Für die erste Ableitung und die Anzahl der Striche werden erhöht für die höheren Ableitungen. Man würde als zwei Striche nehmen, wenn man die zweite Ableitung meint. In vielen fortgeschrittenen Büchern kommt aber auch die Schreibweise $$\begin{equation} \frac{df}{dx} \end{equation}$$ für die erste Ableitung und für die zweite Ableitung dann $$\begin{equation} \frac{d^2f}{dx^2} \end{equation}$$ usw vor. Diese Schweibweise wird später in der Uni zum Standard, weil es eigentlich verschiedene Ableitungen gibt (braucht euch noch nicht zu interessieren). Jedenfalls ist diese Schreibweise kompatibel mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung deswegen benutze ich sie auch hier konsequent für die Ableitungen.

Ich hoffe, ich kann damit ein bisschen Verwirrung nehmen. Ansonsten schreibt gerne eine Mail und ich versuche euere Fragen zu beantworten.

Abituraufgabe Analysis: Solaranlage

Aufgabenstellung

Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage) decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt.
Die Leistung der Solaranlage wird duch die Funktion $f$ mit der Gleichung $$\begin{equation} f(t)=t^4-24t^3+144t^2+400 \end{equation}$$ und der thermische Leistungsbedarf der Familie durch die Funktion $g$ mit der Gleichung $$\begin{equation} g(t)=-t^4+26t^3-167.5t^2-12.5t+2053 \end{equation}$$ Teilaufgabe a

• Vergleichen Sie die Graphen von f und g im Sachzusammenhang
• Berechnen Sie $\frac{f(0)}{g(0)}$ und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.
• Zeigen Sie, dass die Leistung der Solaranlage zu den Zeitpunkten $t_1=3$ und $t_2=9.5$ dem Leistungsbedarf der Familie entspricht.

Teilaufgabe b

• Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage
• Ermitteln Sie den Zeitpunkt im Intervall [0;12], zu dem der durch g beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb eines Kalenderjahres am stärksten abnimmt.

Durch das Integral $\int_a^bf(t)dt$ ist im Sachzusammenhang die aus der Solaranlage im Zeit intervall [a; b] abrufbare Energie und durch das Integral $\int_a^b g(t) dt$ t∫ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall [a; b] für 0 12 ab ≤<≤ in Kilowattstunden [kWh] gegeben.


Teilaufgabe c

• Geben Sie eine Gleichung einer Stammfunktion G von g an und berechnen Sie den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.
• Im Intervall [3; 9,5] wird der Leistungsbedarf der Familie zu jedem Zeitpunkt durch die Solaranlage gedeckt. Die den Bedarf übersteigende Leistung der Solaranlage soll in diesem Zeitraum zusätzlich zum Heizen eines Gartenpools genutzt werden. Ermitteln Sie die Energie, die zum Heizen des Gartenpools im Intervall [ ] 3;9,5 zur Verfügung steht.
• Skizzieren Sie in der Abbildung die Fläche, welche durch den Zähler des folgenden Bruches bestimmt wird, und interpretieren Sie das Ergebnis der folgenden Berechnung im Sachzusammenhang. $$\begin{equation} \frac{ \int_0^{12}f(t)\; dt - \int_3^{9.5}\left(f(t)-g(t)\right)\; dt }{ \int_0^{12}g(t)\; dt } \end{equation}$$

Lösung und Erklärung

Diese Analysisaufgabe ist im Sachzusammenhang gestellt. Der erste Schritt ist damit, sich die Situation vor Augen zu führen. Hier haben wir es mit Verbrauch und Gewinn von Energie bei einer Heizungsanlage zu tun. Dabei beschreibt die Funktion $f(t)$ die Leistung der Solaranlage und $g(t)$ beschreibt die Leistung der Heizung. Die Variable $t$ läuft in unserem Modell von $0$ bis $12$ also durch die Monate eines Jahres.\\ Physikalische Randnotiz. Integriert man die Leistung auf erhält man eine Energie. Im Einfachsten Fall ist Leistung als Energie pro Zeit zu verstehen.

Teilaufgabe a Im Winter benötigt die Heizung viel Leistung, wobei die Solaranlage wenig Leistung erbringt. Im Sommer wird wenig geheizt, die Solaranlage produziert mehr Leistung zur Verfügung als benötigt wird. Im Frühjahr und Herbst sind die verbrauchte Leistung und die Leistund der Solaranlage näher beieinander.

$$\begin{align*} \frac{f(0)}{g(0)} = 0.194 = 19.4 \% \end{align*}$$ Dieser Quotient gibt das Verhältnis von Leistung der Solaranlage zur Leistung der Heizung an. Im Januar werden 19 Prozent der benötigten Leistung durch die Solaranlage gedeckt.

Zuletzt soll man noch zeigen, dass sich die Leistung und der Leistungsbedarf bei $t_1 = 3$ und $t_2 = 9.5$ gleich sind. einfache Lösung. Man setzt ein und zeigt, dass die Zahlenwerte der Funktionen gleich sind: $$\begin{align*} f(3) = 1129 = g(3)\\ f(9.5) = 964.063 = g(9.5) \end{align*}$$ die \textit{schwere Lösung} wäre die Schnittpunkte der Funktionen manuell auszurechnen, indem man den Ansatz $$\begin{align*} f(t) = g(t) \end{align*}$$ löst, dann kommt man auch zu den oben genannten Schnittpunkten.

Teilaufgabe b

Bestimmen wir zunächst das lokale Extremum von $f(t)$. Dazu berechnen wir zunächst die Ableitung $$\begin{align*} \frac{df}{dt} = 4t^3 -72t^2+288t \end{align*}$$ Für das lokale Extremum soll gelten: $$\begin{align*} \frac{df}{dt} = 0 \end{align*}$$ Dann ist also die Gleichung zu lösen $$\begin{align*} 4t^3 -72t^2+288t = 0 \end{align*}$$ Dies ist ein Polynom dritten Grades, es wird also im Allgemeinen drei Nullstellen habe. Das ist per Hand nicht ganz so einfach. Man verwendet an dieser Stelle den Taschenrechner, bei TI kann man Nullstellen von Polynomen mit $\text{polyroots}(\sum a_nx^n, x)$ berechnen. Jedenfalls gilt: $$\begin{align*} 4t^3 -72t^2+288t = 0 \Leftrightarrow t=0 \vee t=6 \vee t=12 \end{align*}$$ Nun berechnen wir die Funktionswerte um das globale Maximum zu bestimmen. $$\begin{align*} f(0)=400\\ f(6)=1696\\ f(12)=400 \end{align*}$$ Normalerweise müssten wir jetzt noch die Randwertbetrachtung durchführen, aber dort liegen ja schon lokale Extrema, deshalb müssen wir hier die Randwerte nicht genauer betrachte. Folglich können wir feststellen:

Die Leistung der Solaranlage ist bei $t=6$ am größten. Zu diesem Zeitpunkt liefert sie eine Leistung von $$\begin{align*} f_{\text{max}}=1696 \frac{\text{kWh}}{\text{Monat}} \end{align*}$$ Teilaufgabe b2

Wann nimmt der Leistungsbedarf am stärksten ab? Gefragt ist hier nach einem Wendepunkt, also nach einem Punkt, an dem die Steigung ein Extremum hat, hier ein Minimum mit negativem Funktionswert. $g'$ minimal und negativ Auch hier müssen wir uns Gedanken über die Randwerte machen, denn hier könnte die erste Ableitung größer sein, als an den gefunden Extremstellen der Ableitung.
Zunächst berechnen wir die Ableitungen der Funktion $g(t)$
$$\begin{align*} &g(t)=-t^4+26t^3-167.5t^2-12.5t+2053\\ &\frac{dg}{dt} = -4t^3+78t^2-335t-12.5\\ &\frac{d^2g}{dt^2} = -12t^2+156t-335 \end{align*}$$ Ansatz Wendepunkt: $$\begin{align*} \frac{d^2g}{dt^2} = 0 \Leftrightarrow -12t^2+156t-335 = 0 \end{align*}$$ Das können wir in eine PQ-Form überführen (faulere Menschen können hier natürlich auch wieder polyroots auspacken) $$\begin{align*} t^2-13t+\frac{335}{12} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad t_\pm = \frac{13}{2} \pm \sqrt{\frac{13^2}{4}-\frac{335}{12}} \end{align*}$$ $$\begin{align*} t_+ = 10.2859 \qquad t_- = 2.71406 \end{align*}$$ Jetzt müssen wir noch die Steigung an diesen Stellen berechnen, um zu entscheiden, wo der Abfall maximal ist: $$\begin{align*} &\frac{dg}{dt}(10.2859) = 441.121 > 0\\ &\frac{dg}{dt}(2.71406) = -427.121 <0 \end{align*}$$ Bei $t=10.2859$ nimmt der Leistungsbedarf stark zu, weil die Ableitung einen hohen postiven Wert hat. Bei $t=2.714$ fällt der Leistungsbedarf stark ab, weil die Ableitung einen hohen negativen Wert annimmt. Für uns ist also nur der zweite Wert ein Kandidat. Nun müssen wir noch die Randwerte betrachten. $$\begin{align*} &\frac{dg}{dt}(0)=-12.5 < 0\\ &\frac{dg}{dt}(12)=287.5 > 0\\ \end{align*}$$ Einziger Kandidat ist hier $t=0$ aber der Abfall ist nicht so groß wie vorhin bei $t=2.714$. Wir stellen fest: bei $t=2.7$ nimmt der Leistungsbedarf der Famile am stärksten ab.

Teilaufgabe c

Wir suchen eine Stammfunktion für $g(t)$. Rechnung funktioniert einfach mit Potenzregel: $$\begin{align*} &\int \left( -t^4+26t^3-167.5t^2-12.5t+2053 \right) \; dt\\ & = - \frac{1}{5}t^5 + \frac{13}{2}t^4 - \frac{335}{6}t^3 - \frac{25}{4}t^2+2053t + C \end{align*}$$ Die Integrationskonstante wählen wir hier $C=0$ weil die Randbedingung $G(0)=0$ aufgrund des Sachzusammenhangs erfüllt sein muss. Um den Energiebedarf der Famile zu berechnen setzen wir jetzt die Integrationsgrenzen $[0:12]$ In die Stammfunktion ein. Als Symbol für die Energie nutzen wir wie in den Naturwissenschaften $W$ für Work. Energie und Arbeit sind physikalisch äquivalent. $$\begin{align*} W_\text{Bedarf} = G(12) - G(0) =12273.6 \; \text{kWh} \end{align*}$$ Hinweis zu den Einheiten: Die Funktion $g$ war mit $\frac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$ einheitenbehaftet. Führen wir eine Integration über die Zeit durch hat das Ergebnis nur noch $\text{kWh}$ als Einheit, die Zeitabhängigkeit der Größe verschwindet durch die Integration.

\textbf{Teilaufgabe c2}Wir haben ja im Vorfeld gezeigt, dass gilt: $$\begin{align*} f(t)\ge g(t) \quad \forall \quad 3 \le t \le 9.5 \end{align*}$$ Um den Energieüberschuss zu berechnen integrieren wir über die Differenz zwischen Erzeuger Energie (Solaranlage) und verbrauchter Energie (Haushalt). $$\begin{align*} \int_3^{9.5} \left(f(t)-g(t)\right)\; dt \end{align*}$$ Nebenrechnung: $$\begin{align*} f(t)-g(t) &= t^4-24t^3+144t^2+400 - \left( -t^4+26t^3-167.5t^2-12.5t+2053 \right) \\ &= 2t^4-50t^3+311.5t^2+12.5t-1653 \end{align*}$$ Wir integrieren von $3$ bis $9.5$ $$\begin{align*} &\int_3^{9.5} \left( 2t^4-50t^3+311.5t^2+12.5t-1653 \right) \; dt\\ =&\left. \frac{2}{5}t^5-\frac{25}{2}t^4+\frac{623}{6}t^3+\frac{25}{4}-1653t \right|_3^{9.5}\\ =& 6037.173 \end{align*}$$ Für den Gartenpool stehen $6037 \text{kWh}$ zur Verfügung.

Teilaufgabe c3

Hier gehen wir weg vom Sachzusammenhang. Welche Fläche berechnet der Term $$\begin{align*} \frac{ \int_0^{12}f(t)\; dt - \int_3^{9.5}\left(f(t)-g(t)\right)\; dt }{ \int_0^{12}g(t)\; dt } \end{align*}$$ Überlegen wir uns, was die einzelnen Terme aussagen. $\int_0^{12}f(t)\; dt$ ist die ganze Fläche unter $f$. Davon abgezogen wird der Schnitt zwischen $f$ und $g$ also $\int_3^{9.5}\left(f(t)-g(t)\right)\; dt$. Der Zähler gibt also die Energie an, welche von der Solaranlage produziert wird und vom Haushalt verbraucht wird. Teilt man das nun durch die Gesamte vom Haushalt verbrauchte Energie hat man den Anteil der Solaranlage an der gesamten vom Haushalt verbrauchten Energie.

Abituraufgabe mit Lösung Matrizen Grundkurs Seevögel

Aufgabe

Die Entwicklung der Population einer bestimmten Seevogelart in einem festgelegten Beobachtungsgebiet wird durch folgende Modellannahmen beschrieben: Die Überlebensrate der Vögel in den ersten beiden Lebensjahren wird jeweils mit 0,6 angenommen, in den späteren Lebensjahren mit 0,8. Die erste Brut findet im 3. Lebensjahr statt, der Bruterfolg wird mit 0,5 Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr angenommen. Die Vögel werden in drei Altersgruppen eingeteilt, deren Anzahlen

• $x_1$ : Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)
• $x_2$ : Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)
• $x_3$ : Anzahl der Altvögel, die älter als 2 Jahre sind (Altersgruppe 3)

durch jährliche Zählungen ermittelt und jeweils zu einer Verteilung $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}$ zusammengefasst werden. Die Matrix $L= \left( \begin{matrix} 0& 0& 0.5\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix} \right)$ beschreibt dieses Modell.

• Die aktuelle Zählung ergibt $x_1= 2000$, $x_2=4000$ und $x_3 = 15000$.
• Berechnen Sie, ausgehend von diesen Zahlen, die Verteilung der Vögel nach einem Jahr und nach 2 Jahren.
• Bestimmen Sie die Verteilung der Vögel, die sich aus dem Modell für das Vorjahr ergäbe.
• Fünf Elemente der Matrix L haben den Wert Null. Erklären Sie für jedes dieser Elemente aus dem Sachzusammenhang heraus, warum es den Wert Null hat.
• Untersuchen Sie, ob es eine von $\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$ verschiedene stationäre Verteilung gibt, d.h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.
• Wenn sich die Population sehr lange nach dem durch die Matrix $L$ beschriebenen Modell entwickelt, wird sie sich pro Jahr näherungsweise um einen festen Prozentsatz p verkleinern. Nach 20 Jahren wird sie noch aus insgesamt $17870$ Vögeln, nach weiteren 10 Jahren aus $15422$ Vögeln bestehen. Berechnen Sie anhand dieser Angaben einen Näherungswert für den Prozentsatz p.
• Langfristig gilt $p \approx 1,462\%$. Ermitteln Sie näherungsweise, in wie viel Jahren sich unter dieser Voraussetzung die Population jeweils halbiert. \\ Durch Schutzmaßnahmen wird – bei sonst gleichbleibenden Modellannahmen – der Bruterfolg auf die Quote von $\frac{5}{9}$ Jungvögel pro Elternvogel und Jahr erhöht.
• Zeigen Sie, dass die Verteilung $n \cdot \begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 9 \end{pmatrix}$ für jede positive ganze Zahl $n$ eine stationäre Verteilung ist.
• Berechnen Sie für eine konkrete stationäre Verteilung aus (4) die prozentualen Anteile jeder der 3 Altersgruppen an der Gesamtzahl der Vögel und zeigen Sie, dass sich für jede stationäre Verteilung aus (4) unabhängig von n dieselben Anteile ergeben.
• Die Entwicklung einer Population einer anderen Vogelart ist durch den nebenstehenden Übergangsgraphen gegeben, wobei sich die Übergangsquoten wieder auf ein Jahr beziehen.

• Geben Sie dazu eine Übergangsmatrix M an.
• Beschreiben Sie anhand des Übergangsgraphen, nach welchen Modellannahmen die Entwicklung der Population dieser anderen Vogelart im Vergleich zur bisher betrachteten Seevogelart abläuft.

Lösung der Aufgabe

Teilaufgabe a
$$\begin{align*} \vec{x_1} = L \vec{x_0} = \left( \begin{matrix} 0& 0& 0.5\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 2000\\ 4000\\ 15000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7500\\ 1200\\ 14400 \end{pmatrix} \end{align*}$$ $$\begin{align*} \vec{x_2} = L^2\vec{x_0} = \begin{pmatrix} 7500\\ 4500\\ 12240 \end{pmatrix} \end{align*}$$ Zu 1b
Ansatz: $$\begin{align*} L\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2000\\ 4000\\ 15000 \end{pmatrix} \end{align*}$$ Wir können jetzt die Matrixmultiplikation auf der linken Seite ausführen. Dies führt dann auf das folgende Gleichungssystem: $$\begin{align*} &0.5 x_3 = 2000\\ &0.6 x_1 = 4000\\ &0.6 x_2 + 0.8 x_3 = 15000 \end{align*}$$ die ersten beiden Gleichungen können wir direkt lösen, da ja nur eine unbekannte Größe pro Gleichung vorkommt. In Gleichung drei müssen wir dann $x_3$ aus Gleichung 1 einsetzten und können dann nach $x_2$ lösen. $$\begin{align*} &x_3 = 4000\\ &x_1 = \frac{20 000}{3} = 6666 \frac{2}{3} \end{align*}$$ Nach einsetzen folgt $$\begin{align*} &\frac{6}{10}x_2 + \frac{8}{10}4000 = 15000\\ \Leftrightarrow & x_2 = \frac{59000}{3} = 19660 \frac{2}{3} \end{align*}$$ Damit ist die Verteilung im Vorjahr bekannt als $$\begin{align*} \vec{x}_\text{Vorjahr} = \begin{pmatrix} 6666\frac{2}{3}\\ 19666\frac{2}{3}\\ 4000 \end{pmatrix} \end{align*}$$ Wir wollen auf einzelne Einträge der Matrix genauer eingehen. $L_11$ ist Null, weil Jungvögel nach einem Jahr in die nächste Altersgruppe wechseln, aber selbst keinen Nachwuchs bekommen. $L_23$ ist Null, weil Vögel der Altersgruppe 3 nicht in Altersgruppe 2 zurückwechseln können. Sie werden nicht jünger. Bei solchen Aufgaben muss man sich das Modell klarmachen, dann sind das eigentlich geschenkte Punkte.

Teilaufgabe b

Der Fixvektor $\vec{s}$ soll sich über ein Jahr nicht ändern. Dies führt zu dem Ansatz: $$\begin{align*} L \vec{s} = \vec{s} \end{align*}$$ $$\begin{align*} \left( \begin{matrix} 0& 0& 0.5\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix} \right) \begin{pmatrix} s_1\\ s_2\\ s_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_1\\ s_2\\ s_3 \end{pmatrix} \end{align*}$$ Links führt man die Matrixmultiplikation aus $$\begin{align*} \begin{pmatrix} 0.5s_3\\ 0.6s_1\\ 0.6s_2 + 0.8s_3 \end{pmatrix} \end{align*}$$ Und kommt so auf das Gleichungssystem $$\begin{align*} &-s_1 + 0.5 s_3 = 0\\ &0.6s_1 - s_2 = 0\\ &0.6s_2 -0.2s_3 = 0 \end{align*}$$ Wir schreiben die erweiterte Koeffizientenmatrix auf $$\begin{align*} \left( \begin{matrix} -1& 0& 0.5& 0\\ 0.6& -1& 0& 0\\ 0& 0.6& -0.2& 0 \end{matrix} \right) \end{align*}$$ Und nutzen den Gauß-Algorithmus um die Lösung des Gleichungssystems zu finden $$\begin{align*} \left( \begin{matrix} 1& 0& -0.5& 0\\ -0.6& 1& 0& 0\\ 0& 0.6& -0.2& 0 \end{matrix} \right) \end{align*}$$ $$\begin{align*} \left( \begin{matrix} 1& 0& -0.5& 0\\ 0& 1& -0.3& 0\\ 0& 0.6& -0.2& 0 \end{matrix} \right) \end{align*}$$ $$\begin{align*} \left( \begin{matrix} 1& 0& -0.5& 0\\ 0& 1& -0.3& 0\\ 0& 0& -0.2& 0 \end{matrix} \right) \end{align*}$$ $$\begin{align*} \left( \begin{matrix} 1& 0& -0.5& 0\\ 0& 1& -0.3& 0\\ 0& 0& 1& 0 \end{matrix} \right) \end{align*}$$ Wir haben also eine einfaches äquivalentes Gleichungssystem gefunden: $$\begin{align*} &s_1 -0.5s_3 = 0\\ &s_2 - 0.3s_3 = 0\\ &s_3 = 0 \end{align*}$$ Lösung $$\begin{align*} \vec{s}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}$$ Es gibt also nur einen Fixvektor, insbesondere gibt es keinen von Null verschiedenen Fixvektor.

Teilaufgabe b2
Wir gehen nun davon aus, das sich die Population im gesamten jedes Jahr um einen Prozentsatz abnimmt. Wir kennen noch aus der Zinsrechnung die Zinseszinsformel, wir ändern ein Vorzeichen und erhalten den Ansaz: $$\begin{align*} K_n = K_0 \left(1-\frac{p}{100}\right)^n \end{align*}$$ Wir lösen nach $\frac{p}{100}$ auf, denn alle anderen Größen kennen wir ja. $$\begin{align*} &\frac{K_n}{K_0} = \left( 1-\frac{p}{100}\right)^n\\ \Leftrightarrow &\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} = 1-\frac{p}{100}\\ \Leftrightarrow &1-\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} = \frac{p}{100} \end{align*}$$ Hier ergibt sich $$\begin{align*} \frac{p}{100} = 1- \sqrt[10]{\frac{15422}{17870}} = 0.01462 \end{align*}$$ Folgt $p\approx 1.462$


Teilaufgabe b3 Wir wissen $p=1.462$ Wann halbiert sich die Population? Wegen dem vorhin gewählten Ansatz muss ja der Faktor, der die Abnahme von der Ausgangspopulation beschreibt, gleich $\frac{1}{2}$ sein. Führt zum Ansatz: $$\begin{align*} \left(1-\frac{p}{100}\right)^n = \frac{1}{2} \end{align*}$$ Wir wenden den Logarithmustrick zum Auflösen nach Exponenten an $$\begin{align*} n \ln \left( 1-\frac{p}{100}\right) = \ln \frac{1}{2} \end{align*}$$ Auflösen und Logarithmusgesetze anwenden $$\begin{align*} n=\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln\left(1-\frac{p}{100}\right)} =\frac{\ln 1 - \ln 2}{\ln\left(1-\frac{p}{100}\right)} =\frac{0 - \ln 2}{\ln\left(1-\frac{p}{100}\right)} =-\frac{\ln 2}{\ln\left(1-\frac{p}{100}\right)} \end{align*}$$ Teilaufgabe b4 Aus der Aufgabenstellung:
Durch Schutzmaßnahmen wird – bei sonst gleichbleibenden Modellannahmen – der Bruterfolg auf die Quote von $\frac{5}{9}$ Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr erhöht.
Wir überlegen uns wie die Matrix angepasst werden muss. Die Brut findet nach Aufgabenstellung im dritten Stadium statt. Es ist also in der Abbildung der Eintrag von $x_3$ nach $x_1$ der angepasst werden muss. Also $L_{13}$ wird von $0.5$ auf $\frac{5}{9}$ geändert. $$\begin{align*} \hat{L}=\left(\begin{matrix} 0& 0& \frac{5}{9}\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix}\right) \end{align*}$$ \textbf{Zu zeigen} ist, dass $$\begin{align*} n \begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 9 \end{pmatrix} \end{align*}$$ ein Fixvektor der angepassten Matrix ist. Wir könnten jetzt wie oben wieder ein Gleichungssystem aufstellen und lösen. Stattdessen können wir aber den schnelleren Weg gehen, indem wir den Vektor durch die Abbildung schicken, und schauen, was rauskommt. $$\begin{align*} \left(\begin{matrix} 0& 0& \frac{5}{9}\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix}\right) \begin{pmatrix} 5n\\ 3n\\ 9n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5n\\ 3n\\ 9n \end{pmatrix} \end{align*}$$ passt also.

Teilaufgabe b5

Wählen wir in (4) z.B. $n=1$, so ergibt sich als stationäre Verteilung $\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 9 \end{pmatrix}$ Die Gesamtzahl der Vögel ist dann $5+3+9=17$. Damit können die Anteile der Altersgruppen an der Gesamtpopulation berechnet werden. $$\begin{align*} &p_1 = \frac{5}{17} \approx 29.4 \%\\ &p_2 = \frac{3}{17} \approx 17.6 \%\\ &p_3 = \frac{9}{17} \approx 52.9 \% \end{align*}$$ Man kann für jeden Anteil zeigen, dass diese Anteile von $n$ unabhängig sind, z.B. $$\begin{align*} &p_1 = \frac{5n}{5n+3n+9n} = \frac{5}{17} \end{align*}$$ Hängt nicht mehr von $n$ ab, weil sich $n$ kürzen lässt. Passt also.

Teilaufgabe c Die Matrix können wir direkt aus dem Übergangsgraphen ablesen. $$\begin{align*} \left( \begin{matrix} 0& 0.8\\ 0.5& 0.6 \end{matrix} \right) \end{align*}$$ Bei dieser Vogelart werden nur zwei Altersgruppen unterschieden. Die erste Brut findet schon im 2. Lebensjahr statt. Die Überlebensrate beträgt im 1. Lebensjahr 0,5 und in den folgenden Lebensjahren jeweils 0,6. Auf einen Elternvogel kommen pro Jahr 0,8 Jungvögel.

Aufgabe zu Pythagoras (mit Lösung)

Gegeben Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a,b, und Hypotehnuse c. Sei $a = 5 cm$ und $b=12 cm$.

• Machen Sie sich mit einer Zeichnung klar, dass ein rechtwinkliges Dreieck über die beiden Seitenlängen oben eindeutig definiert ist. Zeichnen Sie das Dreieck.
• Notieren Sie den Satz des Pythagoras, der für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt
• Berechnen Sie die Seite c
• Notieren Sie beide Gleichungen des Kathetensatzes
• Stellen Sie die eine Gleichung nach $p$ und die andere Gleichung nach $q$ um.
• Berechnen Sie $p$ und $q$
• Prüfen Sie anhand der Ergebnisse die Beziehung $p+q=c$
• Berechnen Sie die Oberfläche des Dreiecks.
• Berechnen Sie die anderen beiden Höhen des Dreiecks, indem Sie die Formel für die Oberfläche nutzen.

Lösung

Es gilt Pythagoras: $$\begin{align*} a^2+b^2 = c^2 \Leftrightarrow c = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 cm \end{align*}$$ Kathetensatz umstellen $$\begin{align*} & a^2 = pc \Leftrightarrow p = \frac{a^2}{c}\\ & b^2 = qc \Leftrightarrow q = \frac{b^2}{c} \end{align*}$$ Nun einsetzen $$\begin{align*} p = \frac{25}{13} \\ q = \frac{144}{13} \end{align*}$$ Wir überlegen, ob wir die Brüche noch kürzen können. Das geht aber nicht! Wir testen nun, ob $p+q = c$ gilt, indem wir die Brüche addieren: $$\begin{align*} p+q = \frac{25}{13} + \frac{144}{13} = \frac{25 + 144}{13} = \frac{169}{13} = 13 [\text{cm}] \end{align*}$$ Zur Berechnung der Oberfläche des Dreiecks brauchen wir nun die Höhe. Dazu wenden wir den Höhensatz an: $$\begin{align*} h= \sqrt{pq} = \sqrt{ \frac{25}{13} \cdot \frac{144}{13}} = \frac{\sqrt{3600}}{ \sqrt{13^2}} = \frac{60}{13} \end{align*}$$ Und damit ist die Fläche bekannt (nach dem Höhensatz gehört die Höhe zur Seite c) $$\begin{align*} A = \frac{ch}{2} = 30 \end{align*}$$ Nun wollen wir noch die anderen Höhen berechnen: $$\begin{align*} A = \frac{1}{2}a h_a \Leftrightarrow h_a = \frac{2A}{a} = h_a \end{align*}$$ Nach einsetzten folgt: $$\begin{align*} h_a = 12 cm\\ h_b = 5 cm \end{align*}$$ Was zu erwarten war, da es sich ja um ein rechtwinkliges Dreieck handelt

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras

Sei ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Die Bezeichungen der Seite folgen dem obigen Bild mit $\gamma = 90°$ Dann gilt $$\begin{equation} a^2 + b^2 = c^2 \end{equation}$$ Wir wollen nun überlegen, wie wir den Satz des Pythagoras nutzen können um den Flächeninhalt zu berechnen: Wir erinnern uns $A=\frac{ah}{2}$ Sagen wir, wir kennen die Seiten $a,b,c$ dann möchten wir gerne mit dem Satz des Pythagoras die Höhe bestimmen, denn dann kennen wir auch die Fläche.

Höhensatz

Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c gegeben. Sei außerdem die Seite c durch die Höhe des Dreiecks in zwei Teilstrecken p und q unterteilt, sodass a p h wieder ein rechtwinkliges Dreieck und h b q auch ein rechtwinkliges Dreieck bilde. (siehe Skizze) \textbf{Dann gilt} für die Höhe h $$\begin{equation} h^2 = pq \Leftrightarrow h = \sqrt[2]{pq} \end{equation}$$

Beweis des Höhensatzes

Wir haben drei rechtwinklige Dreiecke, die wir je mit dem Satz des Pythagoras beschreiben können $$\begin{align*} &I: (p+q)^2 = a^2+b^2\\ &II: a^2 = h^2 + p^2\\ &III: b^2 = q^2 + h^2 \end{align*}$$ Wir wenden auf Gleichung I die binomische Formel an und erhalten $$\begin{align*} & I: p^2+q^2 +2pq = a^2+b^2\\ &II: a^2 = h^2 + p^2\\ &III: b^2 = q^2 + h^2 \end{align*}$$ Nun setzen wir Gleichung II und III in I ein $$\begin{align*} p^2+q^2 +2pq &= a^2+b^2 = h^2 + p^2 + q^2 + h^2 \\ \Leftrightarrow 2h^2 = 2pq \\ \Leftrightarrow h^2 = pq \\ \Leftrightarrow h = \sqrt{pq} \end{align*}$$ was zu zeigen war.

Kathetensatz

Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c gegeben. Sei außerdem die Seite c durch die Höhe des Dreiecks in zwei Teilstrecken p und q unterteilt, sodass a p h wieder ein rechtwinkliges Dreieck und h b q auch ein rechtwinkliges Dreieck bilde. (siehe Skizze) \textbf{Dann gilt} $$\begin{equation} a^2 = pc \end{equation}$$ $$\begin{equation} b^2 = qc \end{equation}$$

Beweis Kathetensatz

Wegen Pythagoras gilt: $$\begin{align*} c^2 = a^2 + b^2 \end{align*}$$ Wir stellen nach der Unbekannten um $$\begin{align*} &a^2 = c^2 - b^2 = (p+q)^2 - b^2\\ & = p^2 + q^2 +2pq -b^2\\ \end{align*}$$ Wir nutzen nochmal Pythagoras, diesmal im bqh-Dreieck $b^2 = q^2 + h^2$. $$\begin{align*} & = p^2 + q^2 +2pq -(q^2+h^2)\\ & = p^2 + 2pq -h^2 \end{align*}$$ Außerdem im hpa-Dreieck: $h^2+p^2 = a^2 \Leftrightarrow h^2 = a^2 -p^2$ $$\begin{align*} & = p^2 + 2pq -a^2 +p^2\\ & = 2p^2 + 2pq -a^2 \end{align*}$$ Wir schreiben nochmal die Gleichung auf und klammern dann aus $$\begin{align*} a^2 = 2p^2 + 2pq -a^2 \Leftrightarrow 2 a^2 = 2p(p+q) = 2pc \end{align*}$$ $$\begin{align*} \Leftrightarrow a^2= pc \end{align*}$$ Was zu zeigen war.

Das allgemeine Dreieck

Im Bild sind die Bezeichnungen f¨ur die einzelnen Punkte, Seiten und Winkel angegeben. Wir geben hier die wichtigsten Formeln f¨ur das allgemeine Dreieck an. Wir geben die wichtigsten Formeln an. Für die Fläche gilt: $$\begin{equation} A=\frac{1}{2} a h \end{equation}$$ Und für den Umfang gilt: $$\begin{equation} u=a+b+c \end{equation}$$