- Machen Sie sich mit einer Zeichnung klar, dass ein rechtwinkliges Dreieck über die beiden Seitenlängen oben eindeutig definiert ist. Zeichnen Sie das Dreieck.
- Notieren Sie den Satz des Pythagoras, der für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt
- Berechnen Sie die Seite c
- Notieren Sie beide Gleichungen des Kathetensatzes
- Stellen Sie die eine Gleichung nach $p$ und die andere Gleichung nach $q$ um.
- Berechnen Sie $p$ und $q$
- Prüfen Sie anhand der Ergebnisse die Beziehung $p+q=c$
- Berechnen Sie die Oberfläche des Dreiecks.
- Berechnen Sie die anderen beiden Höhen des Dreiecks, indem Sie die Formel für die Oberfläche nutzen.
Aufgabe zu Pythagoras (mit Lösung)
Gegeben Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a,b, und Hypotehnuse c. Sei $a = 5 cm$ und $b=12 cm$.
Satz des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.
Satz des Pythagoras
Sei ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Die Bezeichungen der Seite folgen dem obigen Bild mit $\gamma = 90°$ Dann gilt \begin{equation} a^2 + b^2 = c^2 \end{equation} Wir wollen nun überlegen, wie wir den Satz des Pythagoras nutzen können um den Flächeninhalt zu berechnen: Wir erinnern uns $A=\frac{ah}{2}$ Sagen wir, wir kennen die Seiten $a,b,c$ dann möchten wir gerne mit dem Satz des Pythagoras die Höhe bestimmen, denn dann kennen wir auch die Fläche.Höhensatz
Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c gegeben. Sei außerdem die Seite c durch die Höhe des Dreiecks in zwei Teilstrecken p und q unterteilt, sodass a p h wieder ein rechtwinkliges Dreieck und h b q auch ein rechtwinkliges Dreieck bilde. (siehe Skizze) \textbf{Dann gilt} für die Höhe h \begin{equation} h^2 = pq \Leftrightarrow h = \sqrt[2]{pq} \end{equation}
Beweis des Höhensatzes
Wir haben drei rechtwinklige Dreiecke, die wir je mit dem Satz des Pythagoras beschreiben können \begin{align*} &I: (p+q)^2 = a^2+b^2\\ &II: a^2 = h^2 + p^2\\ &III: b^2 = q^2 + h^2 \end{align*} Wir wenden auf Gleichung I die binomische Formel an und erhalten \begin{align*} & I: p^2+q^2 +2pq = a^2+b^2\\ &II: a^2 = h^2 + p^2\\ &III: b^2 = q^2 + h^2 \end{align*} Nun setzen wir Gleichung II und III in I ein \begin{align*} p^2+q^2 +2pq &= a^2+b^2 = h^2 + p^2 + q^2 + h^2 \\ \Leftrightarrow 2h^2 = 2pq \\ \Leftrightarrow h^2 = pq \\ \Leftrightarrow h = \sqrt{pq} \end{align*} was zu zeigen war.Kathetensatz
Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c gegeben. Sei außerdem die Seite c durch die Höhe des Dreiecks in zwei Teilstrecken p und q unterteilt, sodass a p h wieder ein rechtwinkliges Dreieck und h b q auch ein rechtwinkliges Dreieck bilde. (siehe Skizze) \textbf{Dann gilt} \begin{equation} a^2 = pc \end{equation} \begin{equation} b^2 = qc \end{equation}Beweis Kathetensatz
Wegen Pythagoras gilt: \begin{align*} c^2 = a^2 + b^2 \end{align*} Wir stellen nach der Unbekannten um \begin{align*} &a^2 = c^2 - b^2 = (p+q)^2 - b^2\\ & = p^2 + q^2 +2pq -b^2\\ \end{align*} Wir nutzen nochmal Pythagoras, diesmal im bqh-Dreieck $b^2 = q^2 + h^2$. \begin{align*} & = p^2 + q^2 +2pq -(q^2+h^2)\\ & = p^2 + 2pq -h^2 \end{align*} Außerdem im hpa-Dreieck: $h^2+p^2 = a^2 \Leftrightarrow h^2 = a^2 -p^2$ \begin{align*} & = p^2 + 2pq -a^2 +p^2\\ & = 2p^2 + 2pq -a^2 \end{align*} Wir schreiben nochmal die Gleichung auf und klammern dann aus \begin{align*} a^2 = 2p^2 + 2pq -a^2 \Leftrightarrow 2 a^2 = 2p(p+q) = 2pc \end{align*} \begin{align*} \Leftrightarrow a^2= pc \end{align*} Was zu zeigen war.Das allgemeine Dreieck
Im Bild sind die Bezeichnungen f¨ur die einzelnen Punkte, Seiten und Winkel angegeben. Wir geben hier die wichtigsten Formeln f¨ur das allgemeine Dreieck an. Wir geben die wichtigsten Formeln an. Für die Fläche gilt: \begin{equation} A=\frac{1}{2} a h \end{equation} Und für den Umfang gilt: \begin{equation} u=a+b+c \end{equation}
Beispiel Fracking II (Kurvendiskussion mit Exponentialfunktion)
Diese Aufgabe erweitert diese Aufgabe
Wir betrachten nochmal die Situation wie in diese Aufgabe. Dort wurde die Förderrate einer Lagerstätte mit \begin{equation} f(t)=(200-5t)\cdot e^{0.2t} \qquad 0\le t \le 40 \end{equation} modelliert. Wir berechnen noch weitere Teilaufgaben, nämlich:
Wir betrachten nochmal die Situation wie in diese Aufgabe. Dort wurde die Förderrate einer Lagerstätte mit \begin{equation} f(t)=(200-5t)\cdot e^{0.2t} \qquad 0\le t \le 40 \end{equation} modelliert. Wir berechnen noch weitere Teilaufgaben, nämlich:
- Gesucht ist die Stammfunktion, welche die Gasmenge angibt, die seit Beginn der Förderung bis zum Zeitpunkt gefördert wird. Weisen Sie nach, dass die Funktion \begin{equation} F(t) = 25(45-t)\cdot e^{0.2t}-1125 \end{equation} die gesuchte Eigenschaft hat.
- Wie viel Gas wird in der gesamten Förderdauer gewonnen?
- Die Fördergesellschaft beschließt nach dem 35. Monat die Förderung so zu steuern, dass weitere Absinken der Förderrate nur noch linear erfolgt und durch eine Funktion der Gestalt $g(x)=ax+b$ erfasst werden kann. Die Förderung soll auf diese Weise erst nach 50 Monaten zum erliegen kommen. Bestimmen Sie $a$ und $b$.
- Durch die lineare Streckung der Förderrate ab dem 35 Monat erhöht sich die insgesamt geförderte Gasmenge deutlich. Wie groß ist die zusätzlich gewonnene Gasmenge?
Lösung
- Beweis: \begin{align*} &\frac{dF}{dt} = 25 \cdot 0.2 \cdot (45-t) e^{0.2t} - 25 e^{0.2t}\\ &= 5 (45 - t)e^{0.2t} - 25 e^{0.2t}\\ &= (225-5t)e^{0.2}-25e^{0.2t}\\ &= (200-5t)e^{0.2t} = f(t) \end{align*} qed.
- Wir wollen die Fläche unter der Kurve bestimmen, solange bis die Quelle versiegt. Daher berechnen wir zunächst die Nullstelle (denn an der Stelle versiegt die Quelle) \begin{align*} (200-5t)e^{0.2t}=0 \Rightarrow 200-5t=0 \Rightarrow t=40 \end{align*} Nun berechnen wir das bestimmte Integral \begin{align*} &\int_0^{40} f(t) \; dt \\ &= \left[ 25 (45-40)e^{0.2\cdot 40} - 1125 \right] - \left[ 25 (45-0)e^0 - 1125 \right]\\ &= 25\cdot 5 \cdot e^8 - 25\cdot 45\\ &\approx 371495 \end{align*}
- Zum generellen Vorgehen: Wir werden suchen eine Geradengleichung. Eine Gerade ist immer durch zwei Bediungungen eindeutig bestimmt (z.B. zwei Punkte oder auch ein Punkt und eine Steigung). Wir haben die beiden Bediungengen \begin{align*} &g(35)=f(35)\\ &g(50)=0 \end{align*} Wir können den Wert $f(35)$ direkt berechnen und nennen ihn im Folgenden $A$ \begin{align*} f(35) = 27415.828960713 := A \end{align*} Dann folgt das Gleichungssystem: \begin{align*} &I: &35m+b = A\\ &II: &50m+b=0 \end{align*} Wegen II ist $b=-50m$ dies setzen wir in I ein: \begin{align*} 35m-50m = -15m = A \Leftrightarrow m = \frac{-A}{15} \end{align*} Und m wieder in II einsetzen macht b berechenbar: \begin{align*} 50m+b= \frac{-50A}{15} + b = 0 \Leftrightarrow b = \frac{10}{3}A \end{align*} Somit folgt für die Lösung des Gleichungssystems: \begin{align*} &b = \frac{10}{3}A = 91386.09653571 \\ &m = -\frac{1}{15}A = - 1827.72 \end{align*} Wir schreiben nochmal die Geradengleichung auf: \begin{align*} g(t)=-\frac{1}{15}At + \frac{10}{3}A \end{align*} Das geförderte Gas kann dann über das Integral berechnet werden: \begin{align*} &\int_{35}^{50} (-\frac{1}{15}At + \frac{10}{3}A) \; dt \\ &= \left[-\frac{1}{15}A \frac{1}{2} t^2 + \frac{10}{3}At\right]_{t=35}^{t=50}\\ &= \left[-\frac{1}{30}A t^2 + \frac{10}{3}At\right]_{t=35}^{t=50}\\ &= 205618.7172054 \end{align*} Was gewinnt die Gasgesellschaft nun durch die Ängerung der Fördermethode? Dazu benötigen wir noch das bestimmte Integral \begin{align*} \int_0^{35} f(t) \; dt = 273033 \end{align*} Gesamte Fördermenge mit Änderung der Fördermethode \begin{align*} 205618 + 273033 = 478651 \end{align*} Im Vergleich Ohne Änderung der Fördermethode \begin{align*} 371495 \end{align*}
Beispiel: Fracking (Kurvendiskussion mit Exponentialfunktion)
Beim hydraulischen Fracking werden in tiefen Gesteinsschichten durch Hochdruckbohrungen Risse erzeugt, durch die das im Gestein enthaltene Gas gewonnen werden kann. Die momentane Förderrate einer solchen Lagerstätte wird durch die Funktion
\begin{equation}
f(t)=(200-5t)\cdot e^{0.2t} \qquad 0\le t \le 40
\end{equation}
erfasst. Dabei ist $t$ die Zeit seit Förderbeginn in Monaten und $f(t)$ die Förderrate zur Zeit $t$ in der Einheit $1000 \; \frac{m^3}{\text{Monat}}$.
- Bestimmen Sie die Förderrate zu Beginn, nach 12 und nach 24 Monaten.
- Bestimmen Sie die Ableitung der Förderrate
- Bestimmen Sie das Zeitpunkt und Höhe der maximalen Förderrate
- In welchem Zeitraum liegt die Förderrate bei mindestens $20 \; \text{Mio.} \; \frac{m^3}{\text{Monat}} $
Lösung
Teilaufgabe a \begin{align*} f(0)&=200\\ f(12)&=1543.24\\ f(24)&=9720.83 \end{align*} Teilaufgabe b \begin{align*} f(t)&=(200-5t)\cdot e^{0.2t}\\ f'(t)&= -5 \cdot e^{0.2 t} + (200-5t) \cdot 0.2 \cdot e^{0.2t}\\ &= e^{0.2t} \cdot (40-t-5)\\ &= e^{0.2t} \cdot (35-t) \end{align*} Teilaufgabe c Wir untersuchen auf lokale Extrema \begin{align*} f'(x)=0 \Rightarrow 35-t = 0 \Leftrightarrow t=35 \end{align*} Hinreichend: \begin{align*} f''(t) &= -1 e^{0.2t} + (35-t) 0.2 e^{0.2}\\ &=-e^{0.2t}+(7-0.2t)e^{0.2t} \\ &= (7-1-0.2t)e^{0.2t} \\ &= (6-0.2t)e^{0.2t} \end{align*} Den Kandidaten für das Extremum einsetzten. \begin{align*} f''(x)=(6-0.2\cdot 35)e^{0.2\cdot 35} = (6-7)e^7 = -e^7 <0 \end{align*} Es handelt sich also um einen Hochpunkt. Teilaufgabe d Die Gleichung \begin{equation} (200-5t)e^{0.2t}-20 000 = 0 \end{equation} kann nicht analytisch gelöst werden. (Man kann also durch Umformen nicht nach $t$ auflösen). Der Taschenrechner kann durch nummerische Verfahren aber zwei Lösungen finden. Diese sind \begin{align*} t_1 &= 29.915\\ t_2 &= 37.997 \end{align*}Alles hat Grenzen - auch das bestimmte Integral
Sei $f(x)$ eine Funktion und $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f$. Dann berechnet man das bestimmte Integral in den Grenzen $a$ bis $b$ zu
\begin{equation}
\int_a^b f(x) \; dx = F(b)-F(a)
\end{equation}
Übung: Integrieren Sie!
- $f(x)=1$
- $f(x)=x$
- $f(x)=\frac{1}{a}x$
- $f(x)=x+1$
- $f(x)=e^x$
- $f(x)=e^{2x}$
- $f(x)=e^{2x+1}$
- $f(x)=e^{2x}+1$
LÖSUNGEN
- $\int 1 \; dx = x +c$
- $\int x \; dx = \frac{1}{2} x^2 + c$
- $\int \frac{1}{a}x \; dx = \frac{1}{a}\int x \; dx = \frac{1}{a} \frac{1}{2} x^2 + c= \frac{x^2}{2a} + c$
- $\int x+1 \; dx = \frac{1}{2}x^2 + x + c$
- $\int e^x \; dx = e^x +c$
- $\int e^{2x} \; dx = \frac{1}{2} e^{2x} +c$
- $\int e^{2x+1} \; dx = \frac{1}{2} e^{2x+1}+c$
- $\int e^{2x}+1 \; dx = \frac{1}{2} e^{2x+1} + x + c $
Abonnieren
Posts (Atom)