Aufgabe zu Pythagoras (mit Lösung)

Gegeben Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a,b, und Hypotehnuse c. Sei $a = 5 cm$ und $b=12 cm$.

• Machen Sie sich mit einer Zeichnung klar, dass ein rechtwinkliges Dreieck über die beiden Seitenlängen oben eindeutig definiert ist. Zeichnen Sie das Dreieck.
• Notieren Sie den Satz des Pythagoras, der für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt
• Berechnen Sie die Seite c
• Notieren Sie beide Gleichungen des Kathetensatzes
• Stellen Sie die eine Gleichung nach $p$ und die andere Gleichung nach $q$ um.
• Berechnen Sie $p$ und $q$
• Prüfen Sie anhand der Ergebnisse die Beziehung $p+q=c$
• Berechnen Sie die Oberfläche des Dreiecks.
• Berechnen Sie die anderen beiden Höhen des Dreiecks, indem Sie die Formel für die Oberfläche nutzen.

Lösung

Es gilt Pythagoras: $$\begin{align*} a^2+b^2 = c^2 \Leftrightarrow c = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 cm \end{align*}$$ Kathetensatz umstellen $$\begin{align*} & a^2 = pc \Leftrightarrow p = \frac{a^2}{c}\\ & b^2 = qc \Leftrightarrow q = \frac{b^2}{c} \end{align*}$$ Nun einsetzen $$\begin{align*} p = \frac{25}{13} \\ q = \frac{144}{13} \end{align*}$$ Wir überlegen, ob wir die Brüche noch kürzen können. Das geht aber nicht! Wir testen nun, ob $p+q = c$ gilt, indem wir die Brüche addieren: $$\begin{align*} p+q = \frac{25}{13} + \frac{144}{13} = \frac{25 + 144}{13} = \frac{169}{13} = 13 [\text{cm}] \end{align*}$$ Zur Berechnung der Oberfläche des Dreiecks brauchen wir nun die Höhe. Dazu wenden wir den Höhensatz an: $$\begin{align*} h= \sqrt{pq} = \sqrt{ \frac{25}{13} \cdot \frac{144}{13}} = \frac{\sqrt{3600}}{ \sqrt{13^2}} = \frac{60}{13} \end{align*}$$ Und damit ist die Fläche bekannt (nach dem Höhensatz gehört die Höhe zur Seite c) $$\begin{align*} A = \frac{ch}{2} = 30 \end{align*}$$ Nun wollen wir noch die anderen Höhen berechnen: $$\begin{align*} A = \frac{1}{2}a h_a \Leftrightarrow h_a = \frac{2A}{a} = h_a \end{align*}$$ Nach einsetzten folgt: $$\begin{align*} h_a = 12 cm\\ h_b = 5 cm \end{align*}$$ Was zu erwarten war, da es sich ja um ein rechtwinkliges Dreieck handelt

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras

Sei ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Die Bezeichungen der Seite folgen dem obigen Bild mit $\gamma = 90°$ Dann gilt $$\begin{equation} a^2 + b^2 = c^2 \end{equation}$$ Wir wollen nun überlegen, wie wir den Satz des Pythagoras nutzen können um den Flächeninhalt zu berechnen: Wir erinnern uns $A=\frac{ah}{2}$ Sagen wir, wir kennen die Seiten $a,b,c$ dann möchten wir gerne mit dem Satz des Pythagoras die Höhe bestimmen, denn dann kennen wir auch die Fläche.

Höhensatz

Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c gegeben. Sei außerdem die Seite c durch die Höhe des Dreiecks in zwei Teilstrecken p und q unterteilt, sodass a p h wieder ein rechtwinkliges Dreieck und h b q auch ein rechtwinkliges Dreieck bilde. (siehe Skizze) \textbf{Dann gilt} für die Höhe h $$\begin{equation} h^2 = pq \Leftrightarrow h = \sqrt[2]{pq} \end{equation}$$

Beweis des Höhensatzes

Wir haben drei rechtwinklige Dreiecke, die wir je mit dem Satz des Pythagoras beschreiben können $$\begin{align*} &I: (p+q)^2 = a^2+b^2\\ &II: a^2 = h^2 + p^2\\ &III: b^2 = q^2 + h^2 \end{align*}$$ Wir wenden auf Gleichung I die binomische Formel an und erhalten $$\begin{align*} & I: p^2+q^2 +2pq = a^2+b^2\\ &II: a^2 = h^2 + p^2\\ &III: b^2 = q^2 + h^2 \end{align*}$$ Nun setzen wir Gleichung II und III in I ein $$\begin{align*} p^2+q^2 +2pq &= a^2+b^2 = h^2 + p^2 + q^2 + h^2 \\ \Leftrightarrow 2h^2 = 2pq \\ \Leftrightarrow h^2 = pq \\ \Leftrightarrow h = \sqrt{pq} \end{align*}$$ was zu zeigen war.

Kathetensatz

Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypothenuse c gegeben. Sei außerdem die Seite c durch die Höhe des Dreiecks in zwei Teilstrecken p und q unterteilt, sodass a p h wieder ein rechtwinkliges Dreieck und h b q auch ein rechtwinkliges Dreieck bilde. (siehe Skizze) \textbf{Dann gilt} $$\begin{equation} a^2 = pc \end{equation}$$ $$\begin{equation} b^2 = qc \end{equation}$$

Beweis Kathetensatz

Wegen Pythagoras gilt: $$\begin{align*} c^2 = a^2 + b^2 \end{align*}$$ Wir stellen nach der Unbekannten um $$\begin{align*} &a^2 = c^2 - b^2 = (p+q)^2 - b^2\\ & = p^2 + q^2 +2pq -b^2\\ \end{align*}$$ Wir nutzen nochmal Pythagoras, diesmal im bqh-Dreieck $b^2 = q^2 + h^2$. $$\begin{align*} & = p^2 + q^2 +2pq -(q^2+h^2)\\ & = p^2 + 2pq -h^2 \end{align*}$$ Außerdem im hpa-Dreieck: $h^2+p^2 = a^2 \Leftrightarrow h^2 = a^2 -p^2$ $$\begin{align*} & = p^2 + 2pq -a^2 +p^2\\ & = 2p^2 + 2pq -a^2 \end{align*}$$ Wir schreiben nochmal die Gleichung auf und klammern dann aus $$\begin{align*} a^2 = 2p^2 + 2pq -a^2 \Leftrightarrow 2 a^2 = 2p(p+q) = 2pc \end{align*}$$ $$\begin{align*} \Leftrightarrow a^2= pc \end{align*}$$ Was zu zeigen war.

Das allgemeine Dreieck

Im Bild sind die Bezeichnungen f¨ur die einzelnen Punkte, Seiten und Winkel angegeben. Wir geben hier die wichtigsten Formeln f¨ur das allgemeine Dreieck an. Wir geben die wichtigsten Formeln an. Für die Fläche gilt: $$\begin{equation} A=\frac{1}{2} a h \end{equation}$$ Und für den Umfang gilt: $$\begin{equation} u=a+b+c \end{equation}$$

Beispiel Fracking II (Kurvendiskussion mit Exponentialfunktion)

Diese Aufgabe erweitert diese Aufgabe

Wir betrachten nochmal die Situation wie in diese Aufgabe. Dort wurde die Förderrate einer Lagerstätte mit $$\begin{equation} f(t)=(200-5t)\cdot e^{0.2t} \qquad 0\le t \le 40 \end{equation}$$ modelliert. Wir berechnen noch weitere Teilaufgaben, nämlich:

• Gesucht ist die Stammfunktion, welche die Gasmenge angibt, die seit Beginn der Förderung bis zum Zeitpunkt gefördert wird. Weisen Sie nach, dass die Funktion $$\begin{equation} F(t) = 25(45-t)\cdot e^{0.2t}-1125 \end{equation}$$ die gesuchte Eigenschaft hat.
• Wie viel Gas wird in der gesamten Förderdauer gewonnen?
• Die Fördergesellschaft beschließt nach dem 35. Monat die Förderung so zu steuern, dass weitere Absinken der Förderrate nur noch linear erfolgt und durch eine Funktion der Gestalt $g(x)=ax+b$ erfasst werden kann. Die Förderung soll auf diese Weise erst nach 50 Monaten zum erliegen kommen. Bestimmen Sie $a$ und $b$.
• Durch die lineare Streckung der Förderrate ab dem 35 Monat erhöht sich die insgesamt geförderte Gasmenge deutlich. Wie groß ist die zusätzlich gewonnene Gasmenge?

Lösung

• Beweis: $$\begin{align*} &\frac{dF}{dt} = 25 \cdot 0.2 \cdot (45-t) e^{0.2t} - 25 e^{0.2t}\\ &= 5 (45 - t)e^{0.2t} - 25 e^{0.2t}\\ &= (225-5t)e^{0.2}-25e^{0.2t}\\ &= (200-5t)e^{0.2t} = f(t) \end{align*}$$ qed.
• Wir wollen die Fläche unter der Kurve bestimmen, solange bis die Quelle versiegt. Daher berechnen wir zunächst die Nullstelle (denn an der Stelle versiegt die Quelle) $$\begin{align*} (200-5t)e^{0.2t}=0 \Rightarrow 200-5t=0 \Rightarrow t=40 \end{align*}$$ Nun berechnen wir das bestimmte Integral $$\begin{align*} &\int_0^{40} f(t) \; dt \\ &= \left[ 25 (45-40)e^{0.2\cdot 40} - 1125 \right] - \left[ 25 (45-0)e^0 - 1125 \right]\\ &= 25\cdot 5 \cdot e^8 - 25\cdot 45\\ &\approx 371495 \end{align*}$$
• Zum generellen Vorgehen: Wir werden suchen eine Geradengleichung. Eine Gerade ist immer durch zwei Bediungungen eindeutig bestimmt (z.B. zwei Punkte oder auch ein Punkt und eine Steigung). Wir haben die beiden Bediungengen $$\begin{align*} &g(35)=f(35)\\ &g(50)=0 \end{align*}$$ Wir können den Wert $f(35)$ direkt berechnen und nennen ihn im Folgenden $A$ $$\begin{align*} f(35) = 27415.828960713 := A \end{align*}$$ Dann folgt das Gleichungssystem: $$\begin{align*} &I: &35m+b = A\\ &II: &50m+b=0 \end{align*}$$ Wegen II ist $b=-50m$ dies setzen wir in I ein: $$\begin{align*} 35m-50m = -15m = A \Leftrightarrow m = \frac{-A}{15} \end{align*}$$ Und m wieder in II einsetzen macht b berechenbar: $$\begin{align*} 50m+b= \frac{-50A}{15} + b = 0 \Leftrightarrow b = \frac{10}{3}A \end{align*}$$ Somit folgt für die Lösung des Gleichungssystems: $$\begin{align*} &b = \frac{10}{3}A = 91386.09653571 \\ &m = -\frac{1}{15}A = - 1827.72 \end{align*}$$ Wir schreiben nochmal die Geradengleichung auf: $$\begin{align*} g(t)=-\frac{1}{15}At + \frac{10}{3}A \end{align*}$$ Das geförderte Gas kann dann über das Integral berechnet werden: $$\begin{align*} &\int_{35}^{50} (-\frac{1}{15}At + \frac{10}{3}A) \; dt \\ &= \left[-\frac{1}{15}A \frac{1}{2} t^2 + \frac{10}{3}At\right]_{t=35}^{t=50}\\ &= \left[-\frac{1}{30}A t^2 + \frac{10}{3}At\right]_{t=35}^{t=50}\\ &= 205618.7172054 \end{align*}$$ Was gewinnt die Gasgesellschaft nun durch die Ängerung der Fördermethode? Dazu benötigen wir noch das bestimmte Integral $$\begin{align*} \int_0^{35} f(t) \; dt = 273033 \end{align*}$$ Gesamte Fördermenge mit Änderung der Fördermethode $$\begin{align*} 205618 + 273033 = 478651 \end{align*}$$ Im Vergleich Ohne Änderung der Fördermethode $$\begin{align*} 371495 \end{align*}$$

Beispiel: Fracking (Kurvendiskussion mit Exponentialfunktion)

Beim hydraulischen Fracking werden in tiefen Gesteinsschichten durch Hochdruckbohrungen Risse erzeugt, durch die das im Gestein enthaltene Gas gewonnen werden kann. Die momentane Förderrate einer solchen Lagerstätte wird durch die Funktion $$\begin{equation} f(t)=(200-5t)\cdot e^{0.2t} \qquad 0\le t \le 40 \end{equation}$$ erfasst. Dabei ist $t$ die Zeit seit Förderbeginn in Monaten und $f(t)$ die Förderrate zur Zeit $t$ in der Einheit $1000 \; \frac{m^3}{\text{Monat}}$.

• Bestimmen Sie die Förderrate zu Beginn, nach 12 und nach 24 Monaten.
• Bestimmen Sie die Ableitung der Förderrate
• Bestimmen Sie das Zeitpunkt und Höhe der maximalen Förderrate
• In welchem Zeitraum liegt die Förderrate bei mindestens $20 \; \text{Mio.} \; \frac{m^3}{\text{Monat}}$

Aufgabenstellung verstehen: In (a) ist nach Werten der Funktion gefragt. Hier müssen einfach die Stellen 0, 12, 24 in die Funktion eingesetzt werden und der Funktionswert soll bestimmt werden. In (b) muss die Ableitung bestimmt werden, dazu wird man die Produkt- und Kettenregel verwenden. In (c) soll das lokale Maximum bestimmt werden, dazu bestimmt man zunächst über den Ansatz $f'(x)=0$ einen/die Kandidaten für ein Maximum und prüft dann mit dem hinreichenden Kriterium, ob auch wirklich ein Maximum vorhanden ist. Dann berechnet man noch den Funktionswert an der Stelle des Maximums und ist fertig. In (d) ist nach einem Intervall gefragt. Dies kann man sich entweder an der Zeichnung klar machen oder Rechnerisch über den Ansatz $f(t)=20 000$ berechnen.

Lösung

Teilaufgabe a $$\begin{align*} f(0)&=200\\ f(12)&=1543.24\\ f(24)&=9720.83 \end{align*}$$ Teilaufgabe b $$\begin{align*} f(t)&=(200-5t)\cdot e^{0.2t}\\ f'(t)&= -5 \cdot e^{0.2 t} + (200-5t) \cdot 0.2 \cdot e^{0.2t}\\ &= e^{0.2t} \cdot (40-t-5)\\ &= e^{0.2t} \cdot (35-t) \end{align*}$$ Teilaufgabe c Wir untersuchen auf lokale Extrema $$\begin{align*} f'(x)=0 \Rightarrow 35-t = 0 \Leftrightarrow t=35 \end{align*}$$ Hinreichend: $$\begin{align*} f''(t) &= -1 e^{0.2t} + (35-t) 0.2 e^{0.2}\\ &=-e^{0.2t}+(7-0.2t)e^{0.2t} \\ &= (7-1-0.2t)e^{0.2t} \\ &= (6-0.2t)e^{0.2t} \end{align*}$$ Den Kandidaten für das Extremum einsetzten. $$\begin{align*} f''(x)=(6-0.2\cdot 35)e^{0.2\cdot 35} = (6-7)e^7 = -e^7 <0 \end{align*}$$ Es handelt sich also um einen Hochpunkt. Teilaufgabe d Die Gleichung $$\begin{equation} (200-5t)e^{0.2t}-20 000 = 0 \end{equation}$$ kann nicht analytisch gelöst werden. (Man kann also durch Umformen nicht nach $t$ auflösen). Der Taschenrechner kann durch nummerische Verfahren aber zwei Lösungen finden. Diese sind $$\begin{align*} t_1 &= 29.915\\ t_2 &= 37.997 \end{align*}$$

Alles hat Grenzen - auch das bestimmte Integral

Sei $f(x)$ eine Funktion und $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f$. Dann berechnet man das bestimmte Integral in den Grenzen $a$ bis $b$ zu $$\begin{equation} \int_a^b f(x) \; dx = F(b)-F(a) \end{equation}$$

Übung: Integrieren Sie!

• $f(x)=1$
• $f(x)=x$
• $f(x)=\frac{1}{a}x$
• $f(x)=x+1$
• $f(x)=e^x$
• $f(x)=e^{2x}$
• $f(x)=e^{2x+1}$
• $f(x)=e^{2x}+1$

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LÖSUNGEN

• $\int 1 \; dx = x +c$
• $\int x \; dx = \frac{1}{2} x^2 + c$
• $\int \frac{1}{a}x \; dx = \frac{1}{a}\int x \; dx = \frac{1}{a} \frac{1}{2} x^2 + c= \frac{x^2}{2a} + c$
• $\int x+1 \; dx = \frac{1}{2}x^2 + x + c$
• $\int e^x \; dx = e^x +c$
• $\int e^{2x} \; dx = \frac{1}{2} e^{2x} +c$
• $\int e^{2x+1} \; dx = \frac{1}{2} e^{2x+1}+c$
• $\int e^{2x}+1 \; dx = \frac{1}{2} e^{2x+1} + x + c$

Integral

Definition: Stammfunktion

Sei $f(x)$ eine Funktion. Falls für die Funktion $F(x)$ gilt $$\begin{equation} F'(x)=f(x) \end{equation}$$ dann heißt $F(x)$ Stammfunktion von $f(x)$ und man schreibt: $$\begin{equation} \int f(x) \; dx = F(x) \end{equation}$$

Relativ leicht ist das Integrieren von Polynomen. Wir kennen bereits die Ableitungsregel $$\begin{equation} f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=nx^{n-1} \end{equation}$$ Daraus kann man leicht die Integrationsregel bestimmen. $$\begin{equation} f(x)=x^n \Rightarrow F(x)=\int x^n \; dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} \end{equation}$$ Beispiele: $$\begin{align*} &\int dx = x\\ &\int x \; dx = \frac{1}{2} x^2 \end{align*}$$ Wichtige Eigenschaften: Das Integral ist linear, d.h. $$\begin{equation} \int \left( f(x) + g(x) \right) \; dx = \int f(x) \; dx + \int g(x) \; dx \end{equation}$$

Steckbriefaufgaben mit Exponentialfunktion: Beispiel

Beispiel: Gesucht ist eine Funktion der Art $$\begin{align*} f(x)=ae^{bx} \end{align*}$$ Sodass die Punkte $(0,3)$ und $(5,2)$ auf dem Graphen liegen. Bestimmen Sie $a$ und $b$

Lösung

Es muss das Gleichungssystem $$\begin{align*} &I: &ae^{0\cdot b} = 3\\ &II: &ae^{5b}=2 \end{align*}$$ Gelöst werden. Aus I sieht man sofort, dass $a=3$ gilt. Setzt man dies in II ein, so gilt $$\begin{align*} &3e^{5b} = 2 \Leftrightarrow e^{5b} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 5b = \ln\left(\frac{2}{3}\right)\\ & \Leftrightarrow b = \frac{1}{5} \ln\left(\frac{2}{3}\right) \approx -0.081 \end{align*}$$

Exponentialfunktion

Die Funktion $$\begin{equation} f(x)=e^x \qquad e = 2,71828\dots \end{equation}$$ ist besonders interessant, denn sie erfüllt die beiden Eigenschaften:

• $f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x$
• $f(0)=1$

Für das Rechnen mit der Exponentialfunktion ist noch wichtig:
Für große negative Zahlen wird der Wert der Exponentialfunktion fast null. Aber genau null wird sie nie. Für positive große Zahlen geht die Exponentialfunktion gegen unendlich. Kennt man diese Eigenschaft kann man z.B. die Folgerung in $\ref{exp2}$ leicht nachvollziehen:
$$\begin{equation} \label{exp2} 2x\cdot e^x = 0 \Rightarrow 2x=0 \Leftrightarrow x=0 \end{equation}$$

Kurvendiskussium: Beispiel mit einer Exponentialfunktion

Wir möchten im Folgenden beispielhaft für eine Funktion eine Kurvendiskussion durchführen. Sei die Funktionsgleichung gegeben: $$\begin{equation} f(x)=(2-x)e^x \end{equation}$$ Wir bestimmen zunächst die Ableitungen: Mit Produktregel finden wir $$\begin{align*} f'(x) &=(2-x)' \cdot e^x + (2-x) \cdot (e^x)'\\ & =(-1) \cdot e^x + (2-x) \cdot e^x\\ &=(2-x-1) \cdot e^x\\ &=(1-x) \cdot e^x \end{align*}$$ Nochmals ableiten gibt die zweite Ableitung $$\begin{align*} f''(x)&=e^x \cdot (1-x) + e^x \cdot (-1) \\ &=(1-x-1)\cdot e^x\\ &=-xe^x \end{align*}$$ Nochmals ableiten gibt die dritte Ableitung. $$\begin{align*} f'''(x)&= (-1)\cdot e^x + (-x)\cdot e^x \\ &= (-x-1) e^x \end{align*}$$

Nullstellen

$$\begin{align*} f(x)=0 \Rightarrow (2-x)\cdot e^x = 0 \Rightarrow 2-x = 0 \Leftrightarrow x=2 \end{align*}$$ Die Funktion hat also eine Nullstelle bei $x_0 = 2$

Lokale Extrema

Ansatz: $f'(x)=0$
Rechnung:
$$\begin{align*} &f'(x) = (1-x) \cdot e^x = 0\\ \Rightarrow & 1-x=0 \Leftrightarrow x = 1 \end{align*}$$

Hinreichendes Kriterium prüfen: $$\begin{align*} f''(x=1) = -1e^1 = -e <0 \end{align*}$$ Es handelt sich also um ein lokales Maximum. Wir berechnen noch die Koordinaten des Maximums, dazu setzen wir die Stelle des Maximums $x_{max} = 1$ in $f(x)$ ein: $$\begin{align*} f(x_{max})=f(1)=(2-1)\cdot e^1 = 1e^1 = e \end{align*}$$ Hochpunkt $H(1,e)$

Wendepunkt

: Die Rechnungen funktionieren genau wie beim Extremum, nur um eine Ableitung verschoben: $$\begin{align*} f''(x)=0 \Leftrightarrow -xe^x = 0 \Leftrightarrow -x = 0 \Leftrightarrow x=0 \end{align*}$$ hinreichend: $$\begin{align*} f'''(x_w) = f'''(0)=(-0-1) e^0 = -1 <0 \end{align*}$$ Wendepunkt mit Links-Rechts-Krümmung. Wir berechnen noch die Koordinaten des Wendepunkts: $$\begin{align*} f(x_w)= f(0)=2 \end{align*}$$ Wendepunkt bei $W(0,2)$

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Exponentialfunktion

Spezielles Beispiel, in dem das hinreichende Kriterium für lokale Extrema nicht erfüllt ist

Sei die Funktion gegeben: $$\begin{equation} f(x)=x^3 \end{equation}$$ Wir berechnen zunächst die Ableitungen $$\begin{align*} f'(x)&=3x^2\\ f''(x) &= 6x\\ f'''(x) &= 6 \end{align*}$$ Nun untersuchen wir auf lokale Extrema: notwendig: $f'(x)=0$ $$\begin{align*} f'(x)=0 \Rightarrow 3x^2=0 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{0} \Leftrightarrow x=0 \end{align*}$$ Die Stelle $x_0 = 0$ ist also ein Kandidat für ein lokales Extremum. Wir prüfen das hinreichnde Kriterium: $$\begin{align*} f''(x_0) = f''(0) = 6\cdot 0 = 0 \end{align*}$$ An dieser Stelle wissen wir, dass es kein lokales Extremum sein kann. Schaut man ein wenig über den Tellerrand, erkennt man dass offensichtlich ist das notwendige Kriterium für Wendepunkte erfüllt. Wir prüfen das hinreichende Kriterium für Wendepunkte $$\begin{align*} f'''(x_0) = 6 \end{align*}$$ Da die dritte Ableitung konstant 6 ist, ist das hinreichde Kriterium trivialerweise erfüllt. Wir folgern, dass an der Stelle 0 ein Wendepunkt vorliegt. Wir berechnen noch die Koordinaten. $$\begin{align*} f(0) = 0^3 = 0 \end{align*}$$ Es liegt ein Wendepunkt an $W(0,0)$.

Zur Bedeutung der Ableitung

• die erste Ableitung gibt die Tangentensteigung der Funktion an. Also gibt die Ableitung an, wie sich die Funktion ändert, wenn man ein klein wenig an x wackelt, also ein klein wenig weiter geht.
• die zweite Ableitung gibt dann die Tangentensteigung der ersten Ableitung an. Also eine Änderung der Steigung der Funktion selbst. Die Änderung der Steigung gibt aber gerade die Krümmung an. Untersucht man nun z.B. auf lokale Extrema vergleicht man im hinreichenden Kriterium die zweite Ableitung mit Null. Für ein lokales Extremum muss die Kurve gekrümmt sein. Ein Berg oder ein Tal kann nur durch Krümmung erreicht werden, ansonsten hätte man ein Plateau, dort ändert sich nichts.

Basics of Analysis

Mit einer Kurvendiskussion untersuchen wir das Verhalten Funktionen. Eine Funktion $y=f(x)$ ordnet jedem $x$ ein $y$ zu. Kann als Graph dargestellt werden. Charakteristische Punkte sind Nullstellen, Achsenschnittpunkte, Extremstellen, Wendestellen. Desweiteren interessant ist das Monotonieverhalten.

Nullstellen

Nullstellen sind die stellen, an denen der Graph der Funktion die X-Achse schneidet. Um die Nullstelle(n) zu berechnen nutzt man den Ansatz: $$\begin{equation} f(x)=0 \end{equation}$$

Y-Achsenabschnitt

Der Schnittpunkt zwischen Funktionsgraph und Y-Achse heißt Y-Achsenabschnitt. Man berechnet ihn, indem man die Funktion an der Stelle $x=0$ auswertet. $$\begin{equation} f(0)=\dots \end{equation}$$

Ableitung

Das hier ist estwas formaler zur Ableitung. Für die Rechnung wird das nicht benötigt, ist aber Hintergrundwissen! Falls du das nicht verstehst, überspringen.\\ Definition: $f(x)$ eine Funktion heißt an der Stelle $x_0$ differenzierbar, genau dann wenn der Grenzwert $$\begin{equation} f'(x_0)= \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0}{x-x_0} \end{equation}$$ existiert. In dem Fall heißt $f'(x_0)$ Ableitung der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$.

Extremstellen

Sei $f'(x)$ die Ableitung von $f(x)$. Dann hat $f$ an der Stelle $x_0$ ein lokales Extremum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• $f'(x)=0$
• $f''(x) \neq 0$ oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung.

Ansatz zur Untersuchng auf Extrema: $f'(x)=0$

Wendestellen

Funktion $f(x)$ hat an der Stelle $x_w$ einen Wendepunkt, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• $f''(x_w)=0$
• $f'''(x_w)\neq 0$ oder Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.

Ansatz zur Untersuchng auf Wendestellen: $f''(x)=0$

Monotonie

Die Monotonie einer Funktion $f(x)$ beschreibt, wie sich $f(x)$ in einem Intervall verhält. Steigt $f(x)$ im Intervall immer oder fällt $f(x)$ auch? Der Begriff Monotonie ist direkt mit der Steigung verknüpft. Zunächst schauen wir uns aber die elementare Definition an.

• Eine Funktion $f(x)$ heißt monoton steigend, wenn für alle Zahlen $a,b$ mit $a
• Eine Funktion $f(x)$ heißt streng monoton steigend, wenn für alle Zahlen $a,b$ mit $a
• Eine Funktion $f(x)$ heißt monoton fallend, wenn für alle Zahlen $a,b$ mit $a
• Eine Funktion $f(x)$ heißt streng fallend steigend, wenn für alle Zahlen $a,b$ mit $a f(b)$ gilt.

Wie kann man nun mit der Ableitung argumentieren? Relativ einfach. Die Ableitung gibt an, wie die Steigung der Funktion ist. Weiß man für ein Intervall, dass die Ableitung immer größer als Null ist $f'(x)>0$, so ist die Funktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Die anderen Begriffe können analog übertragen werde.

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen haben die Form $$\begin{equation} \label{mxb} f(x)=mx+b \end{equation}$$ Dabei ist

• $m$ die Steigung der Funktion
• $b$ der Y-Achsenabschnitt

Lineare Funktionen sind Geraden im Koordinatensystem. Ein möglicher Aufgabentyp wäre nun, bei einer gegebener Zeichnung die Funktionsgleichung zu finden. Wie bewerkstelltigt man dass? Recht einfach. Sind uns $m$ und $b$ bekannt, kennen wir nach $\ref{mxb}$ die Funktionsgleichung. $b$ kann man direkt ablesen, man muss nur schauen, wo die Funktion die y-Achse schneidet. Für $m$ legt man ein Steigungsdreieckin das Koordinatensystem und berechnet nach $$\begin{equation} \label{lineare-steigung} m= \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \end{equation}$$ die Steigung. Ist beides bekannt setzt man nur noch in die obige Gleichung ein und hat die Aufgabe gelöst. Behandeln wir im folgenden ein Beispiel:

Was sind Funktionen

Funktionen beschreiben Beziehungen zwischen zwei Größen. Beziehungen zwischen den verschiedenen Größen dieser Welt zeigen sich immer wieder. Stellt man einen Kochtopf voller Wasser auf eine eingeschaltete Herdplatte, so ändert sich die Temperatur. Wenn ein Fahrer eines Autos das Gaspedal stärker tritt, ändert sich die Geschwindigkeit des Autos. Überall in der Welt finden sich Zusammenhänge. Wir wollen uns zunächst auf Zusammenhänge von (nur) zwei Größen beschränken.
Eine Funktion ist also eine Beziehung zwischen zwei Größen, die wir hier für eine erste Betrachtung $x$ und $y$ nennen. Eine Beziehung zwischen den $x$ und $y$ können wir z.B. durch eine Gleichung aufschreiben, in denen beide Größen auftreten.
Die einfachste denkbare Beziehung zwischen zwei Größen ist wohl, dass beide Größen immer gleich sind. Die Gleichung dafür lässt sich leicht aufschreiben. $x=y$ ist also eine Gleichung, welche eine Funktion beschreibt, bei denen die beiden abhängigen Größen immer gleich sind.
Ein weiteres Beispiel ist eine Funktion, bei der eine Größe immer doppelt so groß ist, wie die andere. Eine passende Gleichung wäre $y=2x$. Man mache sich klar, dass auch die Gleichung $\frac{1}{2} y=x$ diesen Zusammenhang richtig beschreibt. Wir werden aber später feststellen, dass es einfacher ist, eine \textbf{Funktionsgleichung} immer nach $y$ aufzulösen.
Zu jeder Funktion lässt sich durch festsetzten einer Größe durch die Funktionsgleichung die zugehörige andere Größe berechnen. Das so erhaltene Wertepaar wird als \textbf{Punkt} bezeichnet. Eine Funktion beinhaltet unendlich viele Punkte.

Potenzen

Defintion

Das Wort Potenz stammt aus dem Lateinischen und bedeutet Vermögen, Macht. In der Mathematik wird als Kurzschreibweise die Potenz wie folgt eingeführt: $$\begin{align*} a^n = \underbrace{a\cdot a \cdot a \dots a}_{n \; \text{Faktoren}} \end{align*}$$

Multiplikation von Potenzen gleicher Basis

Man multipliziert zwei Potenzen mit gleicher Basis, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält. $$\begin{align*} a^r\cdot a^s = a^{r+s} \end{align*}$$

Division von Potenzen gleicher Basis

Man dividiert zwei Potenzen mit gleicher Basis, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält. $$\begin{align*} \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} \end{align*}$$

Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten

Man multipliziert zwei Potenzen mit gleichem Exponenten, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält. $$\begin{align*} a^r \cdot b^r = (ab)^r \end{align*}$$

negative Exponenten

Man definiert $$\begin{align*} a^{-1} = \frac{1}{a} \end{align*}$$ Daraus folgt dann $$\begin{align*} a^{-n} = \frac{1}{a^n} \end{align*}$$

Null als Exponent

Für alle $a\neq 0$ gilt $$\begin{align*} a^0=1 \end{align*}$$

Übung zur Bruchrechnung

Fasse sinnvoll zusammen

a) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$

b) $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$

c) $\frac{2}{a}+\frac{3}{a}$

d) $\frac{a}{2}+\frac{a}{3}$

e) $\frac{a}{2}+\frac{b}{3}$

f) $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}$

g) $\frac{1}{2} / \frac{1}{4}$

h) $a / \frac{1}{4}$

i) $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$

j) $\frac{3a}{6b}\cdot \frac{b}{a}$

Regeln der Bruchrechnung

Addition von Brüchen

Man addiert zwei Brüche, indem man sie auf einen gleichen Nenner bringt (erweitern) und dann die Zähler addiert und den Nenner beibehält. Damit man zwei Brüche addieren kann muss der Nenner also gleich sein.

Multiplikation von Brüchen

Man multipliziert zwei Brüche, indem man Zähler mal Zähler rechnet und Nenner man Nenner. Merke: Die Nenner sind hier nicht wichtig.

Division von Brüchen

Man dividiert durch einen Bruch indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

Übung - Ausklammern

Klammere sinnvoll aus

a) $3a+3b$
b) $2x+x$
c) $3ax+5ax$
d) $-2a-4b$

Klammern und ausklammern

Wir betrachten zum Beginn unserer Überlegung ein einfaches Beispiel $$\begin{align*} 6 \text{Birnen} + 3 \text{Birnen} = 9 \text{Birnen} \end{align*}$$ Wie man leicht sehen kann, reicht es an dieser Stelle aus $6+3$ zu rechnen und man weiß, wie viele Birnen man hat. Man könnte auch Sagen, man klammert Birnen aus. $$\begin{align*} (6+3) \text{Birnen} \end{align*}$$ Auf einer abstrakteren Ebene können wir natürlich auch x ausklammern $$\begin{align*} 6x+3x = (6+3)x \end{align*}$$ Auch könnte man 3 ausklammern $$\begin{align*} 6x+3x = (2x+x)3 = 3(2x+x) \end{align*}$$
Merke:
Das Ausklammern ist dem dividieren sehr ähnlich. Klammert man aus, so muss man jeden Summanden durch den ausgeklammerten Faktor teilen. Die Begründung ist die Punkt-vor-Strich Regel. Ggf. kann man es sich auch an dem Birnenbeispiel oben klarmachen.

Übung - Sehr einfache Gleichungen

Lösen Sie die folgenden Gleichungen.

a) $5 + 3x = 2$
b) $3x = 5$
c) $x + 5 = 3$
d) $25x - 5 = 0$
e) $25x - 5x = 0$

Operatoren

Die Rangfolge der Operatoren ist wie folgt:

1. Klammer
2. Potenz
3. Multiplikation und Division
4. Addition und Subtraktion


Punkt vor Strich Die Punktrechnung hat Vorrang vor der Strichrechnung Beim Rechnen mit verschiedenen Operatoren ist im wesentlichen zu beachten, dass man nicht Äpfel mit Birnen verrechnet. Äpfel und Birnen $$\begin{align*} 2x + 2 \end{align*}$$ kann nicht zusammengefasst werden, da ja 2 zunächst mit x multipliziert werden muss, das Ergebnis davon dann mit zwei addiert werden muss. $$\begin{align*} 2x + 2x \end{align*}$$ Kann zusammengefasst werden. Vergleichen wir das wieder mit Äpfeln. Zwei Äpfel und zwei Äpfel sind vier Äpfel. Zwei x und zwei x sind vier x. $$\begin{align*} 2x + 2x = 4x \end{align*}$$ Auflösen einer einfachen Gleichung $$\begin{align*} 2 + 2x + 3x = 1 \end{align*}$$ Wir sehen, dass wir 2x und 3x zusammenfassen können $$\begin{align*} 2 + 5x = 1 \end{align*}$$ Weiter findet man nichts zum zusammenfassen. Jetzt geht das Schaufeln los. Wir subtrahieren auf beiden Seiten 2. Damit bekommen wir die 2 von der Linken auf die rechte Seite $$\begin{align*} &2 - 2 + 5x = 1 - 2\\ &0 + 5x = -1\\ &5x = -1 \end{align*}$$ Als nächstes teilen wir beide Seiten durch 5 $$\begin{align*} \frac{5x}{5}=\frac{-1}{5} \end{align*}$$ Die 5 lässt sich links kürzen und wir erhalten x $$\begin{align*} &\frac{x}{1}= \frac{-1}{5}\\ &x=-\frac{1}{5} \end{align*}$$

Terme

Ein Term ist eine Verbindung von mehreren Größen, wie Zahlen oder Buchstaben. Dabei wird die Verbindung durch Operatoren hergestellt. Die für uns wichtigen Operatoren sind Addition + Subtraktion - Multiplikation * Division / sowie später Potenz, Wurzel usw.
Die Algebra könnte man als die Grammatik der Mathematik auffassen. Es ist wichtig, mit den Grundlagen der Algebra vertraut zu sein, denn jegliche Berechnung baut auf diesen Grundlagen auf. Wir befassen uns im Folgenden mit den unterschiedlichen Operatoren und dem Lösen von Gleichungen. Unter den Mathematikern gilt die folgende Konvention: Wenn kein Operator erkennbar ist, so geht man automatisch von der Multiplikation aus. $$\begin{align*} 2a = 2\cdot a \end{align*}$$ ABER $$\begin{align*} 2\cdot 2 = 4 \neq 22 \end{align*}$$
DEFINITION: Gleichung
Eine Gleichung ist eine Gleichheitsbeziehung zwischen zwei Ausdrücken.
DEFINITION: Äquivalenz
Die Aussage einer Gleichung bleibt erhalten, wenn auf beiden Seiten die gleiche Operation ausgeführt wird. In diesem Fall heißen die Gleichungen äquivalent. Das mathematische Symbol ist $\Leftrightarrow$

Zahlen und Operatoren

Wir machen uns zunächst mit den Zahlen vertraut, mit denen wir rechnen. Da wären zunächst die natürlichen Zahlen, diese umfassen alle Zahlen, wie ein Kind, das gerade Zählen lernt, sie aufzählen würde. Formal kann man schreiben $$\begin{align*} \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\} \end{align*}$$ Wenn wir nur mit den natürlichen Zahlen rechnen wollten, so könnten wir sie zwar addieren, subtrahieren wäre aber schon schwierig. Wollten wir nämlich eine größere Zahl von einer kleineren Zahl abziehen, dann wüssten wir kein Ergebnis zu nennen. Man erweitert den Zahlenbereich auf die ganzen Zahlen, welche also zusätzlich negative Zahlen enthalten, sowie die Null. Formal aufgeschrieben: $$\begin{align*} \mathbb{Z}=\{\dots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \} \end{align*}$$ Möchte man nun dividieren erhält man das gleiche Problem, manche Ergebnisse liegen schlicht nicht im Zahlenbereich. Man erhält den Bereich der rationalen Zahlen, also die Menge aller Brüche aus ganzen Zahlen. $$\begin{align*} \mathbb{Q}= \{\frac{a}{b}: a,b \in \mathbb{Z}\} \end{align*}$$ Dieser Zahlenbereich ist schon sehr schön, denn sehr viele Zahlen mit denen wir es zu tun haben sind in $\mathbb{Q}$ enthalten, jedoch längst nicht alle. Denken wir an die Kreiszahl, oder Wurzeln aus nicht-Quadratzahlen, dies sind Irrationale Zahlen. Man kann sie nicht so schön als Menge aufschreiben, wie die oberen drei. Für unsere Zwecke reicht es zu sagen, dass die Menge der Rationalen Zahlen zur Menge der Reellen Zahlen um die irrationalen Zahlen erweitert wird. Für alle Probleme der Schulmathematik sind die reellen Zahlen bestens geeignet. Sie umfassen die Natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen.